棱台体体积公式推导

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图）

正棱台体公式推导

（1）将正四棱台切割成九部分（如下

B

D E F



/

（立体切面



图）

E在棱台体中间位置，是一个方形体; B、D、H、F是四个三棱柱，分别位于在方形体的四周位置;

A、C G、I是四个四棱锥，分别位于棱台体的四个角的位置。

（2）用字母表示图形部位

顶面棱长为b，底面棱长为a,棱台体高为ho

/



（3）体积的计算

（1）一个方形体E,其底面是边长为b、高为h的方形体，体积为b2h ;

（2）四个四棱锥A、C、G、I,用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为

(图 V1)

K

-、高为h的方形体。

（四棱

锥） 方形体的体积为（



a — 2

）2h°其中一个四棱锥的体积就是

（三个四棱锥拼合图形） 1 a —

（多出一个四棱

锥）

-（

3

2

）2 h。四个四棱锥的体积和则

(

2

ho

化简可得：

1 3

(a —) 2 h

⑶四个直角三棱柱

—(a- —)ho

B、D、F、H,可以拼成两个长、宽、高分别为

2

—、仏

-）

、h的长方体，体积和为


（4）四棱台的体积 四棱台的体积等于上述三项（九个部分）之和 V=b2h +1 （ a b）2h+ b（a-b）h

3

1

解：V= [b 2 + _ （ a b）2+ b（a-b）] h

3

由此得出：正棱台体的体积等于截面积的和乘以高。 截面积组成：

方形体的截面积：顶面的边长乘以边长； 四个三棱柱截面积和：

字母表示b（a-b）

字母表示

b2

「

一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。 四个四棱锥截面积和：

字母表示1（a b）2

3

一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。 化简可得 V （a2 ab b2）h

3

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