最新2015年电大专科微积分初步

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微积分初步复习题

1、填空题 （1）函数f(x)

1

的定义域是 ．

ln(x2)

答案：x2且x3. （2）函数f(x)

1

4x2的定义域是 ．

ln(x2)

答案：(2,1)(1,2]

（3）函数f(x2)x24x7，则f(x) 答案：f(x)x23









．

3

xsin1,

（4）若函数f(x)x

k,

答案：k1

x0x0

在x0处连续，则k ．

（5）函数f(x1)x22x，则f(x) ． 答案：f(x)x21

x22x3

（6）函数y的间断点是 ．

x1

答案：x1 （7）limxsin

x

1

 ． x

答案：1 （8）若lim

sin4x

2，则k ．

x0sinkx

答案：k2 （9）曲线f(x)答案：

x1在(1,2)点的切斜率是 ．

1 2

x

（10）曲线f(x)e在(0,1)点的切线方程是 ． 答案：yxe

3x

（11）已知f(x)x3，则f(3)= ．


答案：f(x)3x23xln3

f(3)=27（1ln3)

（12）已知f(x)lnx，则f(x)= ．

答案：f(x)

11，f(x)=2 xx



．

（13）若f(x)xex，则f(0) 答案：f(x)2exxex

f(0)2

（14）函数y3(x1)的单调增加区间是 ． 答案：(1,)

（15）函数f(x)ax21在区间(0,)内单调增加，则a应满足 ． 答案：a0

（16）若f(x)的一个原函数为lnx，则f(x) . 答案：

2

2

2 x

（17）若

f(x)dxsin2xc，则f(x) ． 

答案：2cos2x

（18）若cosxdx______________ 答案：sinxc （19）de答案：e

x2



x2



．

c



．

（20）(sinx)dx 答案：sinxc （21）若答案：



f(x)dxF(x)c，则f(2x3)dx ． f(x)dxF(x)c，则xf(1x

2

1

F(2x3)c 2

)dx ．

（22）若


答案：（23）

1

F(1x2)c 2



1

1

(sinxcos2xx2x)dx______.

答案：

2 3

de

ln(x21)dx . （24）dx1

答案：0 （25）答案：



0



e2xdx= ．

1 2

(26)已知曲线yf(x)在任意点x处切线的斜率为方程是 .

答案：y2x1 (27)由定积分的几何意义知，

1x

，且曲线过(4,5)，则该曲线的



a

0

a2x2dx= .

答案：

a2

4



(28)微分方程yy,y(0)1的特解为 . 答案：ye

(29)微分方程y3y0的通解为 . 答案：yce

3xx



3

(4)

(30)微分方程(y)4xy答案：4

2．单项选择题

y7sinx的阶数为 ．

exex

（1）设函数y，则该函数是（ ）．

2

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 答案：B

（2）下列函数中为奇函数是（

）．


exex2

A．xsinx B． C．ln(x1x2) D．xx

2

答案：C

x

ln(x5)的定义域为（ ）． x4

A．x5 B．x4 C．x5且x0 D．x5且x4

（3）函数y答案：D

（4）设f(x1)x21，则f(x)（ ） A．x(x1) B．x C．x(x2) D．(x2)(x1) 答案：C

2

ex2,x0

（5）当k（ ）时，函数f(x)在x0处连续.

x0k,

A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D

x21,x0

（6）当k（ ）时，函数f(x)，在x0处连续.

x0k,

A．0 B．1 C．2 D．1 答案：B （7）函数f(x)

x3

的间断点是（ ） 2

x3x2

B．x3



A．x1,x2

C．x1,x2,x3 D．无间断点 答案：A （8）若f(x)e

x

． cosx，则f(0)=（ ）

A. 2 B. 1 C. -1 D. -2

答案：C

（9）设ylg2x，则dy（ ）． A．

11ln101

dx B．dx C．dx D．dx 2xxln10xx

答案：B


（10）设yf(x)是可微函数，则df(cos2x)（ ）． A．2f(cos2x)dx B．f(cos2x)sin2xd2x C．2f(cos2x)sin2xdx D．f(cos2x)sin2xd2x 答案：D

（11）若f(x)sinxa3，其中a是常数，则f(x)（ ）．

A．cosx3a2 B．sinx6a C．sinx D答案：C

（1）函数y(x1)2在区间(2,2)是（ ） A．单调增加 B．单调减少 C．先增后减 D．先减后增 答案：D

（12）满足方程f(x)0的点一定是函数yf(x)的（ ）. A．极值点 B．最值点 C．驻点 D． 间断点 答案：C

（13）下列结论中（ ）不正确． A．f(x)在xx0处连续，则一定在x0处可微. B．f(x)在xx0处不连续，则一定在x0处不可导. C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ

（14）下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（ ）． A．sinx B．ex

C．x2

D．3x 答案：B

（15）下列等式成立的是（ ）． A．df(x)dxf(x) B．

f(x)dx

f(x)

C．

d

dx

f(x)dxf(x) D．df(x)f(x) 答案：C

．cosx
（16）以下等式成立的是（ ）

A． lnxdxd() B．sinxdxd(cosx)

1x

C．dx

dx D．3x

x

dxd3x

ln3

答案：D

（17）

xf(x)dx（ ）

A. xf(x)f(x)c B. xf(x)c C.

12

x2

f(x)c D. (x1)f(x)c 答案：A

（18）下列定积分中积分值为0的是（ ）．

A．1

exex

1exex

12dx B．12

dx C．



3





(x

cosx)dx D．

(x2sinx)dx

答案：A

（19）设f(x)是连续的奇函数，则定积分

a

-a

f(x)dx（ ）A．0 B．

0

a

0-a

f(x)dx C．0

f(x)dx D．2-a

f(x)dx

答案：A

（20）下列无穷积分收敛的是（ ）． A．





0sinxdx B．



11

x

dx

C．





1

dx D．2x1

x

0edx

答案：D

(21)微分方程y0的通解为（ ）．

A．yCx B．yxC C．yC D答案：C

(22)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）

A.

dydxxy； B. dy

dx

xyy； ．y0


C.

dydyxysinx； D. x(yx) dxdx

答案：B 3、计算题

x23x2

（1）lim． 2x2x4

x23x2(x2)(x1)x11解：limlimlim 2x2x2x2(x2)(x2)x24x4

x29（2）lim2

x3x2x3

x29(x3)(x3)x363

解：lim2limlim

x3x2x3x3(x3)(x1)x3x142

x26x8 （3）lim2

x4x5x4

x26x8(x4)(x2)x22

解：lim2limlim

x4x5x4x4(x4)(x1)x4x13

（4）设yxe，求y．

2

1

x

1

解： y2xexe(2)ex(2x1)

x

2

1x1x

1

（5）设ysin4xcosx，求y.

解：y4cos4x3cosx(sinx)

2

3

4x3sinxcosx 4cos

（6）设ye解：ye

x1

x1

2



2

，求y. x

12(x1



2 2x

（7）设yxxlncosx，求y.

313

(sinx) x2tanx 解：yx2

2cosx2

11


10

（8）(2x1)dx



解：(2x1)dx



10

111011

(2x1)d(2x1)(2x1)c 222

sin

（9）



x2

1

xdx

1

xdxsin1d1cos1c

xxxx2

sin

解：(10)





ln2

0

ex(4ex)2dx

ln20

解：

ex(4ex)2dx

ln2

0

(4ex)2d(4ex)

ln20

x3

=(4e)

e

1152(21664) 33

(11)



1

15lnx

dx x

e

e

15lnx1e117

dx(15lnx)d(15lnx)(15lnx)2(361) 解：1x51101021

(12)



10

xexdx

解：



20



1

0

xexdxxexexdxeex

0

0

1110

1

(13)



xsinxdx

20

20

20

20

解：

xsinxdxxcosxcosxdxsinx

1

4、应用题

（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知xh108,h

2

108

x2

yx24xhx24x

令y2x且y2

1084322

x 2

xx

432

0，解得x6是唯一驻点， 2x

2432

0， 3

xx6

108

3用料最省. 26

说明x6是函数的极小值点，所以当x6，h


（2）用钢板焊接一个容积为4m的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h所以S(x)x4xhx

2

2

3

4

2x

16

, x

S(x)2x

16 x2

令S(x)0，得x2，

因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x2,h1时水箱的面积最小. 此时的费用为 S(2)1040160（元）

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