单摆周期原理及公式推导

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关于单摆的回复力

①在研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示.

②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，我们可将重力G分解到速度ｖ的方向及垂直于ｖ的方向.且Ｇ1＝Ｇsinθ＝mgsinθＧ2＝Gcosθ＝mgcosθ

③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mgsinθ提供了摆球摆动的回复力.

单摆做简谐运动的条件

①推导：在摆角很小时，sinθ＝

x l

xl

又回复力Ｆ＝mgsinθ Ｆ＝mg·

（ｘ表示摆球偏离平衡位置的位移，ｌ表示单摆的摆长）

②在摆角θ很小时，回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反，大小成正比，单摆做简谐运动.

③简谐运动的图象是正弦(或余弦曲线)，那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线.



单摆周期公式推导

设摆线与垂直线的夹角为θ, 在正下方处时θ=0,逆时针方向为正，反之为负。

则 摆的角速度为θ’（ 角度θ对时间t的一次导数）, 角加速度为θ’’（ 角度θ对时间t的二次导数）。对摆进行力学分析，

由牛顿第二运动定律，有 (m)*(l)* θ’’ = - mg*sinθ

即θ’’+ (g/l)*sinθ = 0 令 ω = (g/l)1/2 ,有 θ’’ + (ω2)*sinθ = 0

当 θ很小时， sinθ ≈ θ （这就是考虑单摆运动时通常强调“微”摆的原因） 这时， 有

θ’’ + (ω^2)*θ ≈ 0 该方程的解为 θ = A*sin(ωt+φ)

这是个正弦函数，其周期为

T = 2π/ω = 2π*√(l/g)

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