交流电的有效值和平均值

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测试电流电压有效值的时候，多数情况下，不能使用普通万用表测试数据，而要使用真有效值万用表，原因在于计算功率时候要使用有效值测量，而普通万用表测试时所显示的有效值是通过纯正弦波形校正后得到，但是此时电流波形不是真正的正弦波。若使用普通万用表，可以通过以下推导过程得出电流真有效值。

首先假设纯正弦电压波形可以用下式表示

U(t)2Usint ……………….（1）

波形为

由定义计算平均值Uavg

Uavg

将（1）式代入（2）式得

1

T



T

0

U(t)dt …………..……….（2）

Uavg

1T2222UsintdtU0.9U…………………..（3） T02

另外，将（1）式进行傅里叶变换可得

U(t)

22U222

………………（4） 1cos2tcos4tcos6t..........31535

由万用表测试计算原理有

Uavg

1n

limU(k)…………………..（5） nnk1

由定义求得有效值（即均方根值）

Urms

1

T



T

0

U2(t)dtU………………（6）

在普通万用表中所显示的有效值为通过计算平均值Uavg，然后校正后计算出有效值即

Urms1.1Uavg………………….（7）

（7）式所示的电压有效值与平均值是基于纯正弦波电压推导得出，对于含有谐波的电

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压波形则不适用

假如将（1）式所述波形电压接入非线性负载，则可以设定电流波形为表达式为

i(t)2I1sin(t1)2I2sin(t2)2I3sin(t3)...... ……….（8）

由定义求平均值可得

Iavg

1T



T

0

i(t)dt …………….（9）

将（8）代入（9）式，所得积分无法计算，故选用其他方式计算。 将（8）式按照傅里叶变换，可以得出

i(t)IF0IF1costIF2cos2tIF3cos3t...... ……………（10）

由（10）式可知，电流波形由基波和各次谐波组成 由定义，计算电流有效值

Irms

将（8）式代入（11式）可得

1T



T

0

i2(t)dt …………..（11）

222

IrmsI12I2I32I4......In

II

2

1

k2

n

2k

……………（12）

由（8）式可知I1为基波电流，而其他项为电流谐波，即：

THD

由（12）、（13）可得

I

k2

n

2

k

I12

………………..（13）

IrmsI11THD2 ……………..（14）

（14）式则为含有谐波电流的电流波形通过平均值计算有效值的计算公式 根据瞬时功率定义

P(t)U(t)*i(t)…………..（15）

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将（1）、（8）式代入（15）式，并根据有功功率定义，有功功率

P

1T

P(t)dtUI1cos1 ……………..(16) 0T

式（16）为输入电压为纯正弦波形、电流含有谐波的功率计算表达式。 更进一步，若（1）式所表示的电压具有谐波，则其表达式变为

U(t)2U1sint2U2sin2t2U3sin3t...... ………..（17）

由此，同理可得当电压、电流同时含有谐波成分时，其有功功率的表达式如式（18）所示

P

1

T



T

0

P(t)dtU1I1cos1U2I2cos2U3I3cos3...... …………（18）



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