最大公约数与最小公倍数拓展

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最大公约数与最小公倍数拓展（一）

如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，„，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，„，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？



例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？

例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？





例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？

例6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？


练习

1.有三根钢管，分别长200厘米、240厘米、360厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？



2.两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。



3.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数？



4.大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。亮亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。问：这个花圃的周长是多少米？



5.有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？



6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。9点时三条线路同时发车，下一次同时发车是什么时间？



7.四个连续奇数的最小公倍数是6435，求这四个数。




最大公约数与最小公倍数（二）

最大公约数与最小公倍数的关系。

在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法



可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么

（18，12）×[18，12] =（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2） =18×12。 也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：

两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积，即 （a，b）×[a，b]=a×b

例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。

例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。

例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。 练习

1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。



2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？

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