收敛常数项级数和的求法

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收敛常数项级数和的求法

一、利用收敛定义求和 当常数项级数的一般项为或可化为相邻两项代数和的表示 式时，可用收敛定义求其和 .

例 1

n=11 nn 2-1 n2.

TO

解 Un =En=1lnn2-1n2= [In (n-1 )-lnn]+[ln (n+1)-lnn].

Sn =En=2[ln ( n-1 ) -lnn]+[ln

TO

(n+1) -lnn]=

ln3]+ …+[ln ( n+1)

[In1-ln2]+[ln3-ln2]+ [In2-ln3]+[ln4-

-lnn]= ( ln1-lnn )+ln ( n+1 )-ln2=lnn+1n-ln2

limn

，

Sn=limn—x lnn+1n -In2=-ln2 ，贝U S=-ln2.

二、利用已知函数的展开式及级数的运算 利用已知函数的幂级数展开式或已知和的常数项级数， 通过 运算，将所求级数化为已知其和的级数的代数和， 熟记 ex， cosx ， sinx , In (1+x) , (1+x) m的展开式，Ex n=0xn=11-x (x<1 ),

Exn=0 (-1 ) nxn=11+x (-1Wx<1 ).

(x<1 ) ,Ex n=1xnn=-ln (1-x )

例 2 Exn=1n2n！.

解 利用已知函数ex展开式：ex=Ex n=1x nn!,两端对 x 求导

ex=Exn=1nxn-1n !•••( 1).

(1)式两边同时乘以 x, xex =Exn=1 nxnn! — ( 2). ( 2)式两端对 x 求导：

ex+xex="xn=1n2xn-1n !，令 x=1，贝U e+e=En=1n2n!, S=E n=1

TO

TO


n2n! =2e.

三、利用幂级数的和函数

根据所给数项级数一般特点， 找一幂级数使给定的数项级数 可看作是该幂级数在 x=x0 处所得到的数项级数，求出该幂级数 的收敛区域和S (x)，代入x0得到数项级数的和 S (x0).

例3 求数项级数的和 .

解 构造幂级数"x n=1 ( n+1) 2n! xn，当x=1时即为所求 数项级数的和.n=1 ( n+1) 2n! xn的收敛半径R=limn (n+1) 2n!( n+2) 2 (n+1)! =x,则收敛域(-x, +x).

S(x) ="xn=1( n+1) 2n! xn 两端积分：

/xOS (x) dx="xn=1/x0 (n+1) 2n! xndx="xn=1 (n+1) n!

xn+1=x2"xn=1xn-1 (n-1 )! +x"xn=1xnn! =x2ex+xex.

对等式两边求导 S (x) = (x2+3x+1) ex，令x=1，则S (1)

=5e. ."x n=1( n+1)2n! =5e.

四、利用函数的傅里叶展开式

选定函数f (x)，求f (x)的傅里叶级数，根据此级数的 系数特性，选取适当的x值代入，确定所求和的数项级数.

例4设周期函数f (x)在-n , n上的表达式为f (x) =e2x, 试把它展开成傅里叶级数，并求"x n=1 ( -1 ) n-1 n2+4的和.

解 a0=1 n / n - n e2xdx=e2 n -e-2 n 2 n ,

an=1 n / n - n e2xcosnxdx=12 n / n - n cosnxdex= 12 n e2xcosnx n - n +n2n / n - n e2xsinnxdx= (-1 ) n

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