高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式

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高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）

（命题者的首选资料）

1. 已知函数f(x)xln1x,数列an满足0a11,

11

an1fan; 数列bn满足b1,bn1(n1)bn, nN*.求证:

22

（Ⅰ）0an1an1;

an2

; （Ⅱ）an12

（Ⅲ）若a1

2

,则当n≥2时,bnann!. 2

*

解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明0an1,nN.



（1）当n=1时,由已知得结论成立;

（2）假设当n=k时,结论成立,即0ak1.则当n=k+1时, 因为0时,f(x)1

1x0,所以f(x)在(0,1)上是增函数. x1x1

又f(x)在0,1上连续,所以f(0)ak)即0<ak11ln21.

故当n=k+1时,结论也成立. 即0an1对于一切正整数都成立.————4分 又由0an1, 得an1ananln1ananln(1an)0,从而an1an. 综上可知0an1an1.————6分



x2x2

ln(1x)x, 0(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= 22x2

0,知g(x)在(0,1)上增函数. 由g(x)

1x

又g(x)在0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0.



an2an2

fan>0,从而an1.————10分 因为0an1,所以gan0,即22



(Ⅲ) 因为 b1

b11n1

, ,bn1(n1)bn,所以bn0,n1

bn222




所以bn

bnbn1

bn1bn2b21

b1nn! ————① , ————12分 b12

anaa

12

an122

an1

, 2



an2aaaaa,知:n1n, 所以n=23由(Ⅱ)an1

an2a1a1a22

因为a1



2

, n≥2, 0an1an1. 2

aa

所以 an12

22



a1n2a121an1

a1<n1<n=n————② . ————14分

2222

由①② 两式可知: bnann!.————16分

2.已知为锐角，且tan

2

21，

函数f(x)xtan2xsin(2 ⑴ 求函数f(x)的表达式； ⑵ 求证：an1an；



4

)，数列{an}的首项a1

1

,an1f(an). 2

111*

12(n2,nN) ⑶ 求证：

1a11a21an

解：⑴tan2

2tan2(21)

1 又∵为锐角 22

1tan1(21)

∴2



4

∴sin(2



4

)1 f(x)x2x

2

⑵ an1anan ∵a1

1

∴a2,a3,an都大于0 2

2

∴an0 ∴an1an

⑶

1an1



1111

 2

ananan(1an)an1an

∴

111

1ananan1

111111111

 1a11a21ana1a2a2a3anan1

∴

∵a2()

1

2

2

1333

, a3()21 , 又∵n2an1an 2444


∴an1a31 ∴12

1an1

2

∴1

111

2 1a11a21an

3.（本小题满分14分）已知数列an满足a11,an12an1nN （Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）若数列bn满足4（Ⅲ）证明：

b11



4b214b314bn1(an1)bn，证明：an是等差数列；

11a2a3



12

nN an13

解：（1）an12an1，an112(an1)……………………2分 故数列{an1}是首项为2，公比为2的等比数列。……………………3分

an12n，an2n1…………………………………………4分

（2）4

b11

4b214b314bn1(an1)bn，4

(b1b2bnn)

2nbn……………5分

2(b1b2bn)2nnbn①

2(b1b2bnbn1)2(n1)(n1)bn1②

②—①得2bn12(n1)bn1nbn，即nbn2(n1)bn1③……………………8分

(n1)bn12nbn2④

④—③得2nbn1nbnnbn1，即2bn1bnbn1……………………9分 所以数列{bn}是等差数列 （3）

11111

n1n1………………………………11分 an21222an1

设S

11111111111()(S) ，则Sa2a3an1a22a2a3ana22an1

…………13分

S

21212………………………………14分 a2an13an13

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