反函数与幂函数

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反函数与幂函数

知识要点：

反函数：

1、反函数的定义:若f 对应的函数记作：y=f (x), 则f -1对应的函数则为x= f -1(y). 它们是一对互反函数。 原函数的定义域是反函数的值域，而原函数的值域是反函数的定义域。 2、求反函数的步骤：

（1）由y=f(x)解出x=f1(x),即用y表示x （2）将x=f-1(y)改写为y=f-1(x),即x,y互换。 （3）标注反函数定义域。

3、一般地，函数y=f(x)的图象与它的反函数yf1(x)的图象关于直线y=x对称。 幂函数：

1、幂函数的定义

一般地，形如yx（xR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. 2、幂函数的图像特点：

定义域 值域 奇偶性

yx

yx2 R

[0,)

yx3 R R 奇

yx

12

yx1

R R 奇

x|x0

[0,)

x|x0

{y|yR且y0}

奇

偶 非奇非偶

在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限在第Ⅰ象限单调单调增减性 单调递增 单调递增 单调递增 单调递增 递减 定点

（1，1）

（0, 0）

（1，1） （0, 0）

（1，1） （0, 0）

（1，1） （0, 0）

（1，1）

3、幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数. （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 典型例题： 反函数例题

2

例1、 求f(x)x2,x(,3)的反函数

3





1


例２、 求f(x)x2x1(x12)的反函数．

x(x0)

例3、设函数y=f(x)=2，求它的反函数.

x(x0)





例4、已知函数y

同步练习

1．函数y＝－x2(x≤0)的反函数是 （ ）

axb3x1

的反函数是y(x∈R,x≠2)，求a,b,c的值. xcx2

A．y＝－x(x≥0)C．y＝－x(x≤0)

B．y＝x(x≤0)D．y＝－|x|



2．函数y＝－x(2＋x)(x≥0)的反函数的定义域是 （ ）

A．[0，＋∞) B．[－∞，1] C．(0，1] D．(－∞，0]

3.如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是 y＝－x1，那么另一个函数是 （ ）A．y＝x2＋1(x≤0) B．y＝x2＋1(x≥1) C．y＝x2－1(x≤0) D．y＝x2－1(x≥1)



2


4．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点 （ ） A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，b) C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b))

2x1

5.（湖北文）函数yx(x0)的反函数是（ ）

21

Ａ．ylog2Ｃ．ylog2

x1

(x1) x1

Ｂ．ylog2Ｄ．ylog2

x1

(x1) x1

x1

(x1) x1x1

(x1) x1

6．如果一次函数y＝ax＋3与y＝4x－b的图像关于直线y＝x对称，那a＝________， b＝________．

7．已知函数f(x)axk的图像经过(1,3)，其反函数图像经过点(2,0)，则f(x)的表达式为 ；

6x5

(xR,且x1)有反函数yf1(x)，则f1(7) ； 8．已知函数f(x)

x1



幂函数例题

例1、如图：幂函数yx在第一象限的图象，比较0,1,2,3,4,1的大小（ ）



A．130421 B．012341 C．240311 D．320411

例2、比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）

11

(2)0.261________0.271(1)1.32________1.42



1

(4)(0.7)2________(0.7)2(3)(5.2)2________(5.3)2



1



4



2

3

例3、证明幂函数f(x)x在[0,]上是增函数



3


例4、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。 （1） yx （2）yx

23

32

（3）yx2



同步练习：

1、下列函数是幂函数的是 （ ）

A. y=2x

34

B. y=2x-1

C. y=（x+1）2 D. y=3x2

2、函数y(12x)的定义域为 （ ） A．xR B．x

23

111 C．x D．x 222

3、下列是y=x的图像的是 （ ）



4、y=x与y=2的图像的交点个数是 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5、下列函数中是偶函数的是 （ ）

3

A y B yx2,x(3,3] C yx23 D y2(x1)21

x

6、已知某幂函数的图象经过点(2,2)，则这个函数的解析式为_______________________

2

x

7、如果函数f (x) = (m2m1)xm求满足条件的实数m的集合．

2

2m3

是幂函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，

4

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