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初一上册几何证明题
1.
在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E是BC边上的一点,连接AE,过C作CF⊥AE于F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D,试说明:AE=CD。 满意回答
因为AE⊥CF,BD⊥BC 所以∠AFC=90°,∠DBC=90° 又∠ACB=90°,所以∠ACE=∠DBC 因为∠CAE+∠AEC=90° ∠ECF+∠AEC=90° 所以∠CAE=∠ECF 又AC=BC
所以△ACE全等于△CBD(ASA) 所以 AE=CD
像这类题目,一般用全等较好做些 2.
如图所示,已知AD、BC相交于O,∠A=∠D,试说明∠C=∠B. 解: 证1:
∠A=∠D=====>AB∥CD=====>∠C=∠B(内错角相等) 证2:
△ABO内角和180=△CDO内角和180 ∠A=∠D ∠AOB=∠D0C ∴∠C=∠B
证明:显然有:∠AOB=∠COD(两直线相交,对顶角相等)
又∠A=∠D,且三角形三个内角的和等于180º ∴一定有∠C=∠B. 3.
(1)D是三角形ABC的BC边上的点 且CD=AB,角ADB=角BAD,AE是三角形ABD的中线,求证AC=2AE。
(2)在直角三角形ABC中,角C=90度,BD是角B的平分线,交AC于D,CE垂直AB于E,交BD于O,过O作FG平行AB,交BC于F,交AC于G。求证CD=GA。
延长AE至F,使AE=EF。BE=ED,对顶角。证明ABE全等于DEF。=》AB=DF,角B=角EDF角ADB=角BAD=》AB=BD,CD=AB=》CD=DF。角ADE=BAD+B=ADB+EDF。AD=AD=》三角形ADF全等于ADC=》AC=AF=2AE。
题干中可能有笔误地方:第一题右边的E点应为C点,第二题求证的CD不可能等于GA,是否是求证CD=FA或CD=CO。如上猜测准确,证法如下:第一题证明:设F是AB边上中点,连接EF角ADB=角BAD,则三角形ABD为等腰三角形,AB=BD;∵ AE是三角形ABD的中线,F是AB边上中点。∴ EF为三角形ABD对应DA边的中位线,EF∥DA,则∠FED=∠ADC,且EF=1/2DA。∵ ∠FED=∠ADC,且EF=1/2DA,AF=1/2AB=1/2CD∴
△AFE∽△CDA∴ AE:CA=FE:DA=AF:CD=1:2AC=2AE得证第二题:证明:过D点作DH⊥AB交AB于H,连接OH,则∠DHB=90°;∵ ∠ACB=90°=∠DHB,且BD是角B的平分线,则
∠DBC=∠DBH,直角△DBC与直角△DBH有公共边DB;∴ △DBC≌△DBH,得∠CDB=∠HDB,CD=HD;∵ DH⊥AB,CE⊥AB;∴ DH∥CE,得∠HDB=∠COD=∠CDB,△CDO为等腰三角形,CD=CO=DH;四边形CDHO中CO与DH两边平行且相等,则四边形CDHO为平行四边形,HO∥CD且HO=CD∵ GF∥AB,四边形AHOF中,AH∥OF,HO∥AF,则四边形AHOF为平行四边形,HO=FA∴ CD=FA得证。
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