倍角公式的巧变妙用

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巧变妙用话倍角

(河南省临颍县南街村高中 赵先举 462600)

倍角公式是两角和公式的特殊情况,它不仅反映了三角函数的运算关系,也是证明三角恒等式及求三角关系式的重要依据.在使用公式解决问题时一定要会根据题目的不同进行巧妙的变化,只要这样才能真正发挥它们的作用.下面结合具体例子加以说明.

一、配项巧凑倍角公式

正弦函数的倍角公式sin22sincos是解决有多个三角函数乘积问题的重要依据.在有些问题中需要先配凑上因式2sin或2cos才能使用这一公式. 例1. sin70sin50sin30sin10的值为( ) A.

116

B.

316

C.

38

D.

18



=cos20cos40cos60cos80 [解析]:sin70sin50sin30sin10

=

2sin20cos20cos40cos60cos80

2sin20

=

sin40cos40cos80

2sin20

cos60

1

=2

sin80cos802sin20



12



116



sin160sin20



116

.故选A.

[点评]:几个三角函数相乘的求值问题一般都是使用正弦的倍角公式,而题目中显然不具备倍角公式的条件,于是先凑一个2sin20,使得使用倍角公式的条件得以实现,在这个恒等变形

后又可以消去所添加的项,从而实现了求值. 二、降次升倍巧求值

我们知道,余弦函数的倍角公式有三种不同的形式,实际上是三个不同的表达式,即

cos22cos112sincossin,有时候为了求某函数值,逆用这一公

2

2

2

2

式可以起到降次升倍的目的,进而达到求出对应的值. 例2.求值:已知csc()3sin(),求[解析]: =

14

2

14

sin2sincos的值. 1cos2

2

(

1cos2

2

)

2

224

14

sin2sincos=

2

224

14

sin2

2

(sin2cos2)

12



14



12

(cos2cos2)=1sin()sin().

13

因为csc()3sin(),所以,sin()sin()所以,

14

sin2sincos=1

2

2

4

,

13



23

.

2

[点评]:本题实际上是使用了余弦倍角公式的变形cos

1cos2

2

,sin

2

1cos2

2

,

这两个公式的主要作用是降次升倍,从而实现三角函数的加减运算. 三、“齐次式”巧转化

在一个关于正弦与余弦函数的表达式中,若每一项中所含三角函数的次数之和都相等,我们把这种式子叫做关于正弦与余弦的“齐次式”.


例3.已知

tantan1

1,求sin2sincos2的值.

12

解:由

tantan1

2

1可得tan.则sin2sincos2

sinsincossincos

2

2

2

2

121()

tantan22213. 22

12tan15()12

点评: 本题首先通过倍角公式升次降倍转化为形如acos2bsincosccos2类型

acosbsincosccos

sincos

2

2

2

2

的,可以通过添加分母“1”的方式转化为: ,再得到关于

tan的表达式

atanbtanc

tan1

2

2

,再根据正切值进行求解.

四、降倍升次巧选择

有时候需要利用余弦的倍角公式把角进行降倍,在解决这类问题时,对公式的灵活选择是实现突破的关键.

例4.(1).若270360,则



2

12



12

12



12

cos2等于( )

A.sin B.cos

1cossin1cossin





2

C.－sin

.

2



2

D.－cos



2



(2).化简:

1cossin1cossin

2

[解析]:(1).因为cos22cos1,cos2cos



2

2

1

所以,

12



12

12



12

cos2

12



12

12



12

(cos1)=

1212



1212

cos,又因为

2

270360,135



2

180,所以,原式=

12



12

cos=(2cos

2

2

1)

=cos

2

2

cos



2

,故答案选D.

2cos

2

2

(2).原式=

21cossin 1cossin2

2sin2sincos

222

2

2sin



cos



本文来源：https://www.wddqxz.cn/04160024f22d2af90242a8956bec0975f565a442.html