过圆锥母线的截面三角形面积的最大值的求法

2022-04-09 04:00:06   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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过圆锥母线的截面三角形面积的最大值的求法

陈允宏 广东省普宁二中

【问题】如图所示,圆锥AC底面直径BB'过圆锥AC任意两条母线的截面ABD,如何求ABD面积的最大值?

BD边上的高AE,设BDx,建立数学模型S调性来求解。具体可见例1、例2.

1、在直角三角形ABC中,已知AC=2BC=23C90 ,以直线AC轴将△ABC旋转一周得到一个圆锥,求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值.

线ADBDABDAEBDE



A

xx2

AB2(2),利用其单2

B'

CD

EB





BDx(0x43),在RtABC中,AB22(23)24

RtABE中,AE

4

x2

42(2),则SABD

1x2x2

BDAE4(2) 22

222

16x2x41(x32)16 4

2

x32,即x42时,(SABD)max

1

1628 2



经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为8.

思考:该圆锥中,若BB'为直径,BAB'120

2、在直角三角形ABC中,已知BC=2AC=23C90 ,以直线AC为轴将△ABC旋转一周得到一个圆锥,求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值.

解:作任意母线AD,并连接BD,得ABD,作AEBDE。设BDx(0x4),在RtABC中,



AB22(23)24

RtABE中,AE

x2

42(2),则SABD

1x2x2

BDAE4(2) 22



1

16x22

x44



1222

1(x32)16 42

2

2

22

x(0,4]时,随着x的增大,x增大,x32增大(x32)

121

(x32)2增大,(x232)2162增大, 44

11

(x232)2162增大,即SABD增大,SABD=(x232)2162(0,4]上是增函数。 44

1

x216,即x4时,(SABD)maxSABB'42343

2

经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为43.



思考:该圆锥中, BAB'60

比较例12注意:1中不是x取边界值43时取得最大值,而是x42时取值最大值,因为函数在(0,42]上递增,在[42,43]上递减;例2中当x取边界值4时取得最大值,函数在区间(0,4]是单调递增。

推广:圆锥中,当BAB'为锐角或直角时,经过顶点的面积最大的截面三角形是BAB',当BAB'为钝角时,经过顶点的面积最大的截面三角形不是BAB',而在其它位置上,此时必须建立函数模型来求解。




(广东08).将正三棱柱截去三个角(如图1所示ABC分别是GHI三边的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( A

H B

A I

C G

侧视 B D

F 1

E

F 2 A

C

B

E

A

B B

B

B

E D E

E

C

E

D



11)某矩形的面积是a,用斜二测画法得到的直观图的面积为__________. 2)某矩形的斜二测直观图的面积为a,则该矩形的面积为________. 2利用斜二测画法得到:1三角形的直观图还是三角形;2平行四边形的直观图还是平行四边形;3)正方形的直观图还是正方形;4)菱形的直观图还是菱形。 其中正确的________

3用斜二测画线段y1(0x1)得到的斜二测直观图的长度为_______ 4用斜二测画线段yx(0x1)得到的斜二测直观图的长度为_______




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