过圆锥母线的截面三角形面积的最大值的求法

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过圆锥母线的截面三角形面积的最大值的求法

陈允宏 广东省普宁二中

【问题】如图所示，圆锥AC底面直径BB'，过圆锥AC任意两条母线的截面ABD，如何求ABD面积的最大值？

作BD边上的高AE，设BDx，建立数学模型S调性来求解。具体可见例1、例2.

例1、在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=23，C90 ，以直线AC为轴将△ABC旋转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值.

解：作任意母线AD，并连接BD，得ABD，作AEBD于E。设



A

xx2

AB2(2)，利用其单2

B'

CD

EB





BDx(0x43)，在RtABC中，AB22(23)24，

在RtABE中，AE

4

x2

42(2)，则SABD

1x2x2

BDAE4(2) 22

222

16x2x41(x32)16 4

2

当x32，即x42时，(SABD)max

1

1628。 2



经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为8.

思考：该圆锥中，若BB'为直径，BAB'（120）

例2、在直角三角形ABC中，已知BC=2，AC=23，C90 ，以直线AC为轴将△ABC旋转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值.

解：作任意母线AD，并连接BD，得ABD，作AEBD于E。设BDx(0x4)，在RtABC中，



AB22(23)24，

在RtABE中，AE

x2

42(2)，则SABD

1x2x2

BDAE4(2) 22



1

16x22

x44



1222

1(x32)16 42

2

2

22

当x(0,4]时，随着x的增大，x增大，x32增大(x32)，

121

(x32)2增大，(x232)2162增大， 44

11

(x232)2162增大，即SABD增大，SABD=(x232)2162在(0,4]上是增函数。 44

1

当x216，即x4时，(SABD)maxSABB'42343。

2

经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为43.



思考：该圆锥中， BAB'（60）

比较例1、例2，注意：例1中不是x取边界值43时取得最大值，而是x42时取值最大值，因为函数在(0,42]上递增，在[42,43]上递减；例2中当x取边界值4时取得最大值，函数在区间(0,4]是单调递增。

推广：圆锥中，当BAB'为锐角或直角时，经过顶点的面积最大的截面三角形是BAB'，当BAB'为钝角时，经过顶点的面积最大的截面三角形不是BAB'，而在其它位置上，此时必须建立函数模型来求解。




(广东08)．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）

H B

A I

C G

侧视 B D

F 图1

E

F 图2 A

C

B

E

A．

B． B

B

B

E D E

E

C．

E

D．



1、（1）某矩形的面积是a，用斜二测画法得到的直观图的面积为__________. （2）某矩形的斜二测直观图的面积为a，则该矩形的面积为________. 2利用斜二测画法得到：（1）三角形的直观图还是三角形；（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；（3）正方形的直观图还是正方形；（4）菱形的直观图还是菱形。 其中正确的________

3用斜二测画线段y1(0x1)得到的斜二测直观图的长度为_______ 4用斜二测画线段yx(0x1)得到的斜二测直观图的长度为_______

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