维恩图在解题中的应用

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Venn图在解题中的应用

用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．



例1 设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M－P ={ x |xM，且xP}，则M－(M－P)等于( )

A．P B．MP C．MP D．M 解：当MP≠时，由右图知，M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是MP．

当MP=时，M－P = M，此时有

M－(M－P) = M－M ={ x |xM，且xM }== MP．

综上，应选B．

评析：这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题，“M－P”是学生们在课本中不曾学过的一种集合运算关系，根据它的元素的属性，可以用Venn图的方法把问题转化．

例２ 已知全集U = {x | x取不大于20的质数}，A、B是U的两个子集，且A(CUB)={3，5}，(CUA)B ={7，19}，(CUA)(CUB) ={2，17}，求集合A、B．

解：由于U = {2，3，5，7，11，13，17，19}，

作出如右图所示的Venn图．集合A、B将全集U划分成了四部分．

① A(CUB)；②(CUA)B；③AB；④(CUA)(CUB)(也就是CU(AB))， 这四部分中任何两部分都无公共元素，它们的并集为全集U． 所以在全集中排除了A(CUB)、(CUA)B、 (CUA)(CUB)的元素之后，剩下的元素组成了 AB．故AB ={11，13}，可得

A = ［A(CUB)］( AB) ={3，5，11，13}，

(CUA)(CUB) A(CUB) AB

CU( AB) M MP

P


B = ［(CUA)B］( AB) ={7，11，13，19}．

评析：元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过Venn图形象表达，再加上由于题设条件比较抽象，也应借助于Venn图寻找解题思路，这样做有助于直观地分析问题、解决问题．

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