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时针中的角度计算技巧
刘镇中学 王欢
带有指针的钟表是生活中常用的工具之一，钟面上的时针、分针每时每刻都在忙碌地工作着。其实，这看似平常的钟面上蕴藏着大量的数学知识，时针、分针转动过程中所夹的角度问题就是其中之一。
众所周知，在钟面上分针每分钟转动一小格（共60小格），时针每小时转动一大格（12大格），所以在钟面上同一指针每转动一大格的夹角为30°，每转动一小格的夹角为6°，所以分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°。
例1 从8时25分到8时53分，时针与分针各转动了多少度？
解析：因为8时25分到8时53分，分针走了28分钟，所以分针转动的角度为6°×28=168°。同理，时针也走了28分钟，所以时针转动的角度为0.5°×28=14°。
此题属于不同时刻同一指针（分针或时针）转动角度的计算题，因此可直接用分针和时针每分钟各自转动的角度乘以转动的时间。
例2 在9时20分时，时针与分针的夹角是多少度？
解析1：把0时（12时）看成起点，那么到9时20分时，时针转动了0.5°×（60×9+20）=280°；由于分针每转动360°都与0°重合，使得最后显示在钟面上的分针与起点相比转动了6°×20=120°，所以分针与时针的夹角为280°-120°=160°
点评：本例属于同一时刻，不同指针（分针与时针）夹角的计算问题。解决此类问题应分别求出时针、分针从钟面0时（12时）到某一时刻所转动的角度，再求出这两个角度的差的绝对值，即为所求时刻两指针夹角的度数。此类问题可以推广为：在n时m分时，时针与分针的夹角的度数为︱10.5（60n+m）-6m︱°=︱30 n-5.5m︱°
解析2：先来出时针和分针所构成的图形（如图），从图中可以看出，它们
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的夹角为5×30°+ ×30°=160°
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利用画出图形的方法来求某一时刻时针和分针的夹角问题具有形象、直观的特点，易于理解和接受。
例3 在6时几分时，时针与分针互相垂直？
解析1：分针、时针的速度分别是每分钟6°，0.5°。此时，时针已转过180°。因此，在分针追及时针的过程中和超过时针时，各有一次时针与分针互相垂直，设它们同时行走x分钟后，时针与分针互相垂直，则可得：180°+0.5°
180540，所以在6x-6°x=90°或6°x-(180°+0.5°x)=90°，解得x= 或x=
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180540时 分和6时 分时，时针和分针互相垂直。
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1
解析2：分针、时针的速度分别为每分钟1小格、 小格，在6时整，时
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针先于分针走30小格，设它们同时行走x分钟后，时针与分钟互相垂直，即分
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针在时针后15小格或在时针前15小格，于是得（1- ）x=15或（1- ）x=45
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180180540540
解得x= 或x= ，所以在6时 分和6时 分时，时针和分针互
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相垂直。
解决不同时刻，不同指针的夹角问题，应把此类问题转化为方程中的“追及”问题，列出方程求解即可。但要注意的是，分针与时针哪个在前面，另外考虑问题应全面。
综上，对于同一时刻，不同的指针的夹角问题可以直接列算式计算或运用图形的直观来帮助解题；对于不同时刻不同的指针的夹角问题可以把它转化为行程类中的追及问题，通过构建算式或方程求解。
本文来源：https://www.wddqxz.cn/f9a60427b7360b4c2e3f6489.html
2022-05-24
