向量公式汇总

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空间向量

令a=(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)，则

ab(a1b1,a2b2,a3b3)

a(a1,a2,a3)(R)

aba1b1a2b2a3b3

共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.

a∥ba1b1,a2b2,a3b3(R)

a1a2a3



b1b2b3

如果三个向量：那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，．．．．a,b,c不共面．．．使pxaybzc.

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z使 OPxOAyOBzOC(这里隐含x+y+z≠1). 向量垂直 aba1b1a2b2a3b30。 空间两个向量的夹角公式



abcosa,b

|a||b|

a1b1a2b2a3b3

2a1

2a2

2a3



b122b22b3



（a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)）。 空间两点的距离公式：

d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.

利用法向量求点到面的距离：

如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点B到平面

|ABn|

的距离为

|n|

.

.异面直线间的距离

d

|CDn|

(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为|n|

l1,l2间的距离).


B到平面的距离

d

|ABn|

（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. |n|

直线AB与平面所成角

arcsin

ABm

(m为平面的法向量).

|AB||m|

利用法向量求二面角的平面角：

arccos



mnmn

或arccos（m，n为平面，的法向量）

|m||n||m||n|

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