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实验22 Galton钉板试验
Galton钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的。在一板上钉有n排钉子，如图示，其中n=5。右图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为0，1，2，„，n。从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。向Galton
钉板扔进一个小球，显然不能预测小球回落到哪一个格子，如果不断重复扔进过程，将会发生什么结果呢?
实验目的
概率方法建立在“重复试验”的基础之上，统计规律只有在大量重复后才会呈现出来，诸如随机变量、分布、均值、方差等概念无一不体现了重复的思想。利用MATLAB软件进行随机模拟，可以方便地重现这一思想，更好地理解和掌握概率统计的内容。
预备知识
二项分布、数学期望以及MATLAB绘图命令
实验内容
1. 模拟Galton钉板试验，观察和体会概率分布列的意义； 2. 数学期望与平均收益的应用。
MATLAB相关命令
表22-1 Matlab二项分布模拟相关命令 函数名 rand moviein movie getframe binornd binostat binopdf
调用方式 rand(‘seed’,n)
moviein(m) movie(m,n) getframe binornd() Binostat() Binopdf()
含义 产生随机数 动画开始 播放动画n次 得到动画帧矩阵 二项分布随机数产生器 二项分布期望和方差
二项分布密度
- 116 - 第二章 专题实验
binocdf plot
【步骤】
【Step1】：动画模拟Galton钉板试验
1) 确定钉子的位置。将钉子的横、纵坐标存储在一个矩阵中；
2) 模拟了小球从顶端随机地落入某一格子的过程。设向右的概率为p，向左的概率为q=1-p；将[0,1]分成两段，区间[0,p]和(p,1]。利用rand[]产生一个介于0和1之间的随机数u，如果随机数u[0,p]，让小球落向左边，否则落向右边；将这一过程重复n次，并用直线连接小球落下时所经过的点。
3) 模拟小球堆积的形状。输入扔球次数m，计算落在第i个格子的小球数mi在总球数m中所占的比例，这样当模拟结束时，就得到了频率fi频率反映小球堆积的形状。 4) 利用movie完成动画。 【程序】：参见Exm22_1.m。
【Step2】：用二项分布描述Galton钉板模型
小球自上方落下，经过n个钉子。每经过一个钉子时只有两种可能结果：向左或向右，这是一个具有两个结果（成功和失败）的随机试验E，将向右视为成功，其概率为p，向左视为失败，其概率为1-p。小球碰到一个钉子下落一格，相当于进行了一次试验E，自顶端落下，碰到n个钉子，最终落到某个格子的过程，恰好相当于将试验E重复了n次，因此一次投球过程就是一个n重贝努利试验。n重贝努利试验的成功次数X正好就是小球向右移动的次数，是一个随机变量，根据概率论的结果，它服从二项分布，即XB(n,p)。其取值与模拟模型的对应关系为：
表22-2 格子编号与随机变量取值对应表 小球落入的格子编号 0 1 2 ... n-1 n 随机变量X的取值
0 1 2 „ n-1 n
mim
Binocdf() plot(„)
二项分布累积分布函数
绘图
,i0,1,2,...,n，用
利用概率论知识，二项随机变量X的分布列为：
piP(Xi)Cnp(1p)
i
i
ni
,i0,1,2,...,n
上述动画模拟中：p=0.5。
实验22 Galton钉板试验 - 117 -
有了上面的理论分析之后，我们可以比较n次投球小球堆积的频率图和XB(n,0.5)的分布图之间的差异。 【程序】：参见Exm22_2.m。 【输出】：见图22-1。
0.40.30.20.10
0.40.30.20.10
012345
（1）5000次投球小球堆积的频率图012345
（2）理论分布B(5,0.5)的分布图
图22-1 用二项分布描述Galton板试验
思考练习
如果这是一个抽奖游戏，仍一次小球需要付出1元代价，同时在不同的格子中设置了不同价值的奖品，见表22-3。抽奖者一般的希望是奖品汇报大于所付出的代价，这一点能够实现吗？
表22-3 格子编号与奖品价值对应表 格子编号
0 1 2
3
4 5
奖品价值（元） 5 1 0.2 0.2 1 5
本文来源：https://www.wddqxz.cn/e3934412f18583d0496459ad.html
2022-03-29
