余弦定理的证明

2023-11-04 02:00:10 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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余弦定理的证明

对于一个三角形ABC，设三边分别为a、b、c，对应的角分别为A、B、C，则余弦定理可以表示为：

c² = a² + b² - 2ab * cos(C) 现在来证明余弦定理：

证明步骤：

1. 画出三角形ABC，并在三角形内部作一条高BD，垂直于边AC。

2. 由于高BD是边AC的高，所以∠DBC = 90°，因此三角形DBC是一个直角三角形。 3. 根据直角三角形DBC，我们可以得到： BD² + DC² = BC² （勾股定理）

4. 又因为三角形ADC是直角三角形，所以： AD² + DC² = AC² （勾股定理）

5. 将第4步中的等式改写为：DC² = AC² - AD²

6. 将第3步和第5步的等式代入第2步的等式，得到： BD² + AC² - AD² = BC²

7. 观察三角形ABC中的∠C，应用余弦函数的定义：cos(C) = AD / AC 8. 将第7步的等式代入第6步的等式，得到： BD² + AC² - (AC * cos(C))² = BC²

9. 将BD表示为a * cos(C)（BD是边AC的高，等于边AC乘以sin(∠C)），得到： a² * cos²(C) + AC² - (AC * cos(C))² = BC² 10. 化简上式，得到：

a² * cos²(C) + AC² - AC² * cos²(C) = BC² 11. 继续化简，得到：

a² * cos²(C) = BC² - AC² * cos²(C)

12. 将a²用b² - c² + 2bc * cos(A)代入上式，得到： (b² - c² + 2bc * cos(A)) * cos²(C) = BC² - AC² * cos²(C) 13. 继续化简，得到：

b² * cos²(C) - c² * cos²(C) + 2bc * cos(A) * cos²(C) = BC² - AC² * cos²(C) 14. 将b² * cos²(C)和c² * cos²(C)移到左边，并合并同类项，得到： b² * cos²(C) + AC² * cos²(C) = BC² + 2bc * cos(A) * cos²(C) 15. 提取cos²(C)公因式，得到：

cos²(C) * (b² + AC²) = BC² + 2bc * cos(A) * cos²(C) 16. 除以(b² + AC²)得到：

cos²(C) = (BC² + 2bc * cos(A) * cos²(C)) / (b² + AC²) 17. 化简，得到：

cos(C) = (BC² + 2bc * cos(A) * cos²(C)) / (b² + AC²)

最后，利用三角恒等式sin²(C) + cos²(C) = 1，可以将上式变为： cos(C) = (BC² + 2bc * cos(A) * (1 - sin²(C))) / (b² + AC²)

继续化简，得到余弦定理的形式： cos(C) = (b² + c² - a²) / 2bc