勾股定理知识点总结(经典、实用)

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第三章、勾股定理

一、知识要点：

1、勾股定理

勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 也就是说： 如果直角 三角形的两直角边为 a、b，斜边为 c ，那么 a2 + b2= c2。 公式的变形： a2 = c2- b2 ， b2= c2-a2 。



符号语言：



注意：前提一定是直角三角形 .

a，b 也可能是斜边，分清斜边直角边 .



勾股定理的证明 ：勾股定理的证明方法很多， 常见的的方法是面积相等---

D

H

E

G

C

F

根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 常见方法如下：

A

b c

a

B



b

a

c

c

a

b

1

方法一： 4S + S正方形EFGH = S正方形ABCD ， 4 ab + (b a)2 = c2 ，化简可证．

2

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

b

c

c

a

b

a

1 2 = 2ab+ c2 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S = 4 ab+ c2

大正方形面积为 S = (a +b)2 = a2 + 2ab+b2 所以a2 +b2 = c2



A a

D b

c

1 1 1

方法三： S梯形 = (a+b).(a+b) ， S梯形 = 2SADE + SABE = 2. ab+ c2 ，化简得证

222

c

B

b

E

a C

勾股定理的适用范围 ： 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的 数量关系， 它只适用于直角三角形， 对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具



有这一特征。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是



直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理 .

该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度 .

②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.

③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角 . ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。




(分类讨论，数形结合)

最大边的平方＜最小边的平方+中间边的平方是锐角三角形 最大边的平方＞最小边的平方+中间边的平方是钝角三角形

说明： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过 “数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

(1)首先确定最大边，不妨设最长边长为： c；

(2)分别求出 c2 与 a2+b2 ，判定 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，若 c2 ＝a2+b2 ，则△ ABC 是以∠C 为直角的直角三角形(若 c2>a2+b2 ，则△ ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若 c22+b2 ，则△ ABC 为锐角三角形)。

(定理中 a ， b ， c 及 a2 +b2 = c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三 边长 a ，b ，c 满足a2 + c2 = b2 ，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为 斜边)

3、勾股数

满足 a2 + b2= c2 的三个正整数，称为勾股数。



注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

② 一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。缩小后仍满足 a2 + b2=

c2

常见勾股数有：用常见 (3，4，5 ) (5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7， 24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 )

2 2

含字母的代数式表示 n 组勾股数： n1,2n,n+1 (n > 2, n 为正整数)；



2n+1,2n2 + 2n,2n2 + 2n+1 ( n 为正整数) m2 n2 ,2mn,m2 +n2 ( m>n, m ，n 为正整数)

勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系



区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关 系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯 的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 有下列关系： a2+b2 ＝c2 ，• 那么这个 三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.• 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算， 通过学习加深对“数形结合”的理解．

我们把题设、 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题， 那么另 一个叫做它的逆命题。 (例：勾股定理与勾股定理逆定理)

4.勾股定理的应用

解决求直角三角形中的边长或直角三角形中线段之间的关系的证明问题 ① 已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

② ②已知一边和关系，设未知数通过勾股定理得方程求解。

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