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浅谈布朗运动
冯涛
青海民族学院 电子工程与信息科学系 810007
摘 要：布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时
又是最重要的随机过程。
关键词： 布朗运动、马尔科夫随机函数；性质及推导；应用
On the Brownian motion
Abstract：Brownian motion as a continuous time parameter and the continuous state space of a random process, is a most basic, simple at the same time is the most important stochastic process.
Keywords：Brownian motion, Markov random function; the nature and derivation; Application
一、关于布朗运动的性质及推导。
标准布朗运动的定义是一个随机函数X(t)(tT)，它是维纳随机函数。它有如下的一些重要性质。 （1）、它是高斯随机函数。
（2）、它是马尔科夫随机函数。它的转移概率密度是：
1/2(yx)22f(ts,yx)PX(t)yX(s)x 2(ts)exp2y2(ts)
可以看出它对空间和时间都是均匀的。
（3）、如X(t)(t0)是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。
21）、X1(t)cX(t/c) （c＞0为常数，t≥0）
2）、X2(t)X(th)X(h) （h＞0为常数，t≥0）
tX(t1)3）、X3(t)
0
(t0)
(t0)
2
（4）、标准布朗运动的协方差函数C(s,t)min(s,t)。 证明如下。已知C(s,t)X(s)X(t)X(s)
X(t)，当s＜t时，
X(s)X(s)X(0)0，故右方第二项为零。右方第一项
X(s)X(t)X(s)[X(t)X(s)X(s)]X(s)X(t)X(s)X2(s)
其中由于相互独立，故
X(s)[X(t)X(s)][X(s)X(0)][X(t)X(s)]X(s)X(t)X(s)
按定义知此项为零。于是由维纳过程的性质知：C(s,t)X2(s)[X(s)X(0)]22s 如果t＜s，必有C(s,t)t。故最后得：C(s,t)min(s,t) （5）、标准布朗运动非均方可微。
由于布朗运动X(t)是维纳随机函数，而后者按照定义应有[W(ts)W(t)]22h。因而令
2
2
X(th)X(t)X(t)W(t)后，必有：
h
2
2
h
， 故
lim
h0
X(th)X(t)
h
2
如果布朗运动是可微的，则按均方可微的意义应有：
2
lim
h0
X(th)X(t)X(t)
h
2
它表明：
lim
h0
X(th)X(t)
h
(X(t))2
在上面的计算过程中应用了维纳随机函数的第（2）性质。这和前一式相矛盾。故布朗运动不是均方可微的。
关于布朗运动作为物理学中的动力学过程，有重要意义的是朗之万方程。设布朗粒子的质量为m，它在水平面x方向所受到的力分为两个部分。一是与速度成正比的液体阻尼力V，一是液体分子对粒子碰撞引起的随机力F(t)。于是按照牛顿的质点力学定律，布朗粒子在水平面x方向的运动方程为：
m
dV
VF(t) dt
dV
VA(t) dt
此方程成为朗之万方程。一般而言方程应该是三维的，为简单起见只讨论一维的情形。为简化记号可令/m，A(t)F(t)/m。于是，上式成为单位质量的算式。即：
此方程强烈的依赖于A(t)的性质。对A(t)有下列几个经过实验检验的假设：①A(t)与V无关；②
A(t)0；③A(t)A(s)∝(ts)。这最后一个条件反映了V(t)的马尔科夫性质。因为V对时间
的一阶微分方程的解完全决定于tt0时的初始条件。如果方程中的随机加速度A(t)（也就是作用于单位质量的随机力）具有所设定的函数相关，则tt0时的随机加速度就不能改变tt0时的运动。如果
A(t)的相关函数有一段时间的延续，例如A(t)A(s)∝e
在t0
ts/
。即使给定了t0时刻的速度V(t0)，
2
区间内的随机加速度A(t)还会影响到t0tt0/2区间内的运动。这样，tt0时tt0。
本文来源：https://www.wddqxz.cn/c7a06267f4ec4afe04a1b0717fd5360cba1a8dc1.html
2023-01-01
