【教学随笔】等差数列前n项和最值问题的快速解法

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等差数列前n项和最值问题的快速解法

等差数列前n项和公式是，记住抛物线对称轴方程.最值一定在离对称轴最近的整数中取到.图像是过原点的抛物线上的一些离散点，由于二次函数图像的对称性，一旦给出关系式，则马上知道抛物线的对称轴方程为，即两足标和的一半！关于的最值问题可以转化成二次函数求解。其实，它还有一个零点式方程，

★设抛物线顶点的横坐标为，则抛物线的两个零点为0和，则可设 （图像中x轴对应n轴，y轴对应轴，等差最值问题要立刻想到这2个图像！） 例1 等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 速解：抛物线对称轴方程为，则可设， 由 时，

例2 在等差数列中,已知,前项和为,且,求当取何值时, 有最大值,并求它的最大值。 解：抛物线对称轴方程为，则可设 由，则

所以 n=12或13时，

例3 等差数列中，，，该数列前多少项的和最小？

解 ∵，∴的图像所在的抛物线的对称轴为，又 ,，∴的前10项或前11项的和最小。

变式：等差数列中，，，该数列前多少项的和最大？ 解：抛物线的对称轴为，又，所以n=6 or 7



例4 设等差数列的前n项和为，已知 （1） 求公差d的取值范围

（2） 指出中哪一个值最大,并说明理由. 解：（1）




的取值范围是

（2） 由（1）知d<0,抛物线开口向下，设抛物线顶点的横坐标为，则抛物线的两个零点

为0 和 ，因，则2，故的值最大.

例5设等差数列的前n项和为，且，则k= 8 解：抛物线对称轴 例6

①设等差数列的前n项和为，且，求的值

解：抛物线对称轴方程为，则抛物线两个零点为0和，所以=0

②已知等差数列的前项和满足，则 上面的结论，答案是0，对吧？

③已知等差数列的通项为，则使得最大的的值是？

解：（d就是一次项n的系数！why?），抛物线开口向下，有最大值，由抛物线对称轴方程，故答案为8. 例7

设等差数列满足，且，则前n项和中最大的是（ ）

A B. C D 解：，抛物线开口向下， 由对称轴，最大，选择C

例8 （2010福建理科3）设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时, n等于 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9

速解：，d>0,抛物线开口向上，故有最小值。由抛物线对称轴方程，故选A

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