算二项式展开式中常数项的简便方法

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一个计算二项式展开式中常数项的简便方法 重庆市万盛区田家炳中学 程林书

在计算二项式展开式中的常数项时,常利用通项公式

r

nr

r

Tr1Cnab

,将含字母的项合并后,利用未知数的指数为0,求出r,

再代入通项公式计算出常数项.

例如:求(

x2

18

) 展开式中的常数项. 3x

r

4r

x8r1rr8r8

常规解法是:由通项公式得: Tr1C8()(3)=2C8x3

2x

令8

4r668

0 得 r6 故常数项为T72C87 3

pq

ml

n

上述解法的关键是求r.事实上,对任意的二项式(axbx)

,

其中,a,bR,ab0, p与q互质,m与l互质,如果存在常数项,设其为第

r1项,则



T

r1

Cna

rnr

x

p(nr)q

bx

r

mrl

=a

nr

bCx

n

rr

p(nr)mr

ql



设

p(nr)mrpnln

0 则 r qlplmq1mq

pl

而

mq

恰好是二项式两项中未知数x的指数比.因此r可由指数比来确pl

定:中x的指数是1,而3x中x的指数是,它们的比值是3:1,由于其和是8,故二项式两项的指数比是6:2,从而r6,故常数项为

x213

T72

68

C

68

7

例2 判断下列二项式展开式中是否有常数项.若有求出常数项. (1)(x3)

1x

16

(2)(2007天津高考文12) (x

1

x

)2

9




分析(1)中指数比为:3:2 不存在两个整数,比值为3:2,其和为16,从而不存在常数项. (2)中指数比为1:2其和为9, 从而指数比为3:6,

r3

1123

T4C984

3

3

例3 (2007安徽高考理12)若(2x则最小正整数n等于_______.

1)x

n

的展开式中有常数项.

分析:指数比为3:6:112:218:3......则n的可能值为7,14,21 ……最小为7.

12

例4 (2007全国卷I理10) x的展开式中常数项为15,x

2

1

2

则n( )

A:3 B:4 C:5 D:6 分析:指数比为2:14:26:3......其和为n ,则n 的可能值为

2

3,6,9……从选择支来看,n3时,常数项为C315 ,故n6选D .

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