[浅谈数学思想方法的教学]数学四大思想八大方法

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[浅谈数学思想方法的教学]数学四大思想八大方法

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓。它隐含于数学知识的发生、发展和应用的过程中，不仅是对数学事实与概念、定理、公式、法则等一些理论的本质认识，而且是形成学生良好的认知结构的纽带。正确地运用数学思想方法能很好地培养学生分析问题和解决问题的能力，有利于学生形成良好的数学素养。

数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛，学会思考和解决问题，并对学生学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用。数学作为中等职业学校的文化必修课之一，它的任务是通过数学知识的学习，提高学生的推理能力、抽象能力、分析能力和创造能力，使学生具有继续学习的能力和创新精神，能够尽快地适应社会、服务社会。日本数学家米山国藏认为：学生进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥作用。因为社会生活中有许多思维方法都和数学思想方法有着类似之处，所以在数学课程教学过程中要突出数学思想方法，这是当前中职数学教育的必然要求，也是数学素质教育的体现。下面结合中等职业学校的数学教学内容，以实例来说明课堂教学渗透的四种基本数学思想方法。

一、数形结合思想

数形结合是一种数学思想方法，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”。“数”可以准确澄清“形”的模糊，“形”能在直观中启迪“数”的运算。正如华罗庚教授所言“数缺形时少直观，形无数


时难入微”。在中等职业学校的数学教材中，数形结合的思想方法应该是最常见、最常用的一种思维方法，甚至贯穿于第一册（基础模块）教材的始终。从第一章用文氏图来描述集合的运算到第二章用二次函数的图象诠释一元二次不等式的解以及第三章开始的基本初等函数的学习过程中，应用函数的图象来直观地说明函数的性质。可以说，第一册数学教材的教学内容中，能让我们真正体会到“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。

例如，在教材第68页选择题中的第3题：已知 a＝log0.50.6， b＝log■0.5， c＝log■■，则a，b，c满足（）。 A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. a＜c＜bD. c＜a＜b

这道题是不同底数、不同真数的三个对数的比较。在不用计算器的情况下，要比较它们的大小关系，最好的办法就是通过数形结合的思想方法，既形象又直观，还能让同学们再一次把握对数函数的图象与其性质之间的关系，体现其中规律性与灵活性的有机结合。

二、分类讨论思想

分类讨论思想是根据数学对象与本质属性的相同点与不同点将数学对象区分为不同种类的数学思想。分类讨论的思想是逻辑划分的思想在解数学题中的应用。它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题往往具有明显的逻辑性、探索性、综合性，能训练学生的思维条理性和概括性。因此，在中职数学课堂教学中，教师应启发学生按不同的情况对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类方法的原则，形成分类的思想。

例如：已知数的前n项和Sn＝2n2－n 求an .

分析：此题是数列求和的相关问题，项数n的取值对结果有着直接的影响，因此，对项数n进行分类讨论。 解：当n＝1时， a1＝S1＝2×12－1＝1.


当n≥2时， an＝Sn-Sn-1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.

在an ＝4n－3中，令n＝1得a1＝4×1－3＝S1＝1. ∴an ＝4n－3.

事实上，在教材的内容中所体现的分类讨论思想也无处不在：在学习指数函数y＝ax与对数函数y＝ logax的图象和性质时，显然对底数a的取值进行了分类，分成a1和0 三、转化思想

转化思想是把一种数学问题转化成另一种数学问题进行思考的方法。把未知解的问题转化到在已有知识范围内可以解决的问题，使之得到有效的解决。正如数学家C·A·雅洁娅指出：“解题就是要把未解的题转化为已经解过的题。”数学的解题过程就是一个不断转化的过程。在教学中，要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，确信转化是可能的，而且是必须的。 例如：在教材第二章不等式中只介绍了一元二次不等式和绝对值不等式的解法，并未涉及分式不等式的求解方法，但在课后练习中却出现了分式不等式的求解。针对教材这样的内容设置，笔者认为就是要让学生真正把握在求解不等式过程中所应用的转化思想。因此，在课堂教学中，再以下题为例： 求不等式■＞0的解。

分析：此类不等式为分式不等式，根据两个因式之商大于零，所以符号必相同。解分式不等式可以转化为解两个不等式组：2x－1＞0，3x＋5＞0， 或2x－1＜0，3x＋5＜0. 而这也正好是解一元二次不等式基本解的原理，所以对这个分式不等式也可以转化为一元二次不等式：（2x－1）（3x＋5）0，从而也能够很快地归纳出一元一次分式不等式的解答规律。 四、函数思想

函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，它体


现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地， 函数思想是构造函数，从而利用函数的性质解题。

例如：教材第66页习题A中第2题：某公司现在的年利润是5000万元，预计每年增长22%，问预计经过多少年该公司的年利润能达到*****万元？

分析：从问题中可以看出年利润是年数的函数，故可以设经过x年后，公司的利润为y万元，则 当x＝1时，y＝5000（1＋22%） x＝2时，y＝5000（1＋22%）2 ……

从而建立数学模型。

解：经x年后，公司利润为y＝5000（1＋22%）x.

这是指数函数。只要知道经过的年数就可以计算该公司利润。而此题是知道年利润反过来求年数x，所以需要转化为对数函数， 使用计算器计算x≈4.4，因此预计经过5年该公司的年利润能达到*****万元。

中等职业学校的学生将来走向职业岗位遇到的问题，都是实际问题。学会应用数学模型来解决问题，工作才能做到事半功倍，得心应手。正如在整个函数教学章节中，教材都设置了函数的实际应用举例。教师在这些例题教学中，一定要有意识、有计划、有目的地去揭示其中所隐含的数学思想方法，培养学生的函数思想。

数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想方法融于数学知识体系里，并且不成体系地散见于教材各章节中，这样教师在课堂教学中，讲不讲、讲多、讲少随意性较大，教师也常常因教学时间不够而将它作为一个“软任务”挤掉。因此，作为教师需要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的，要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因数，


对于每一章、每一节都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透。由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识里，所以也要求教师在课堂教学中把各种知识表现出来的数学思想方法适时地做出归纳、概括，以增强学生对数学思想方法的应用意识。最后，在渗透数学思想方法的课堂教学中，教师还一定要认识到要使学生真正做到理解、掌握甚至运用数学思想方法，并不是通过几堂课就能实现的。我们一定要在教学中大胆实践，不断探索，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学中，这样学生对数学思想方法的认识就一定会日趋成熟。

总之，教师在课堂教学过程中不仅要教会学生运用数学知识，更要培养学生利用“数学思想方法”思考问题、解决问题。中等职业学校数学的知识内容根据时代和专业的不同，而进行调整变化，但数学思想方法在学生今后的学习和工作实际应用中将产生的深远影响没有变化，如果数学课堂教学中只重视教授书本中的表层知识，而不注重数学思想方法的渗透，不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，学生也将无法将所学的知识应用到实际的生活和工作中去。只有在数学教学中的每一环节都重视数学思想方法的渗透，培养学生的数学能力，才是真正适合中等职业教育的教学，才能有利于学生的后期学习以及运用，使学生终生收益。

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