关于幂函数的性质知识点总结

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关于幂函数的性质知识点总结

定义:

形如y=x^a〔a为常数〕的函数，即以底数为自变量 幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。 定义域和值域:

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 假如a为任意实数，那么函数的定义域为大于0的所有实数； 假如a为负数，那么x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，那么x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；假如同时q为奇数，那么函数的定义域为不等于0 的所有实数。 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，那么只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质:

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，那么x^〔p/q〕=q次根号〔x的p次方〕，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞〕。当指数n是负整数时，设a=-k，那么x=1/〔x^k〕，显然x≠0，函

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数的定义域是〔－∞，0〕∪〔0,＋∞〕.因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，那么a可以是任意实数；

排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

假如a为任意实数，那么函数的定义域为大于0的所有实数； 假如a为负数，那么x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，那么x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；假如同时q为奇数，那么函数的定义域为不等于0 的所有实数。

在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，那么只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

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