倾斜角与斜率

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倾斜角与斜率

3.1.1 倾斜角与斜率 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. （2）理解直线倾斜角的唯一性. （3）理解直线斜率的存在性. （4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式. 2．过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 3．情感、态度与价值观 （1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力. （2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. （二）教学重点与难点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. （三）教学方法 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 提出问题引入 我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？ 直线的倾斜角的概念. 学生回答（不能确定） （1）它们都经过点P. （2）它们的倾斜程度不同. 接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题. 设疑激趣导入课题 概念形成 1．直线倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定 . 教师提问： 倾斜角 的取值范围是什么？ 当直线l与x轴重合时 （由学生结合图形回答）

概念深化 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角 . 教师提问： 如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角 相等吗？ 学生回答后作出结论. 一个倾斜角 不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素. 通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几


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何要素 概念形成 2．直线的斜率 一条直线的倾斜角 （ ≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即 . 由此可知，一条直线l的倾斜角 一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如 = 45°时 k = tan45°= 1 = 135°时 k = tan135°= �C1 教师提问：（由学生讨论后回答） （1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？ k = tan0°= 0 （2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？ = 90°，k不存在 设疑激发学生思考得出结论 概念形成 3．直线的斜率公式 对于上面的斜率公式要注意下面四点： （1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角 = 90°，直线与x轴垂直； （2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角 = 0°，直线与x轴平行或重合. （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 教师提出问题： 给定两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？ 可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导. 借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程. 应用举例 例1 已知A (3，2)，B (�C4，1)，C (0，�C1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略） 分析：已知两点坐标，而且x1 ≠ x2，由斜率公式代入即可求得k的值； 而当 时，倾斜角 是钝角； 而当 时，倾斜角 是锐角； 而当 时，倾斜角 是0°. 例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，�C1，2及�C3的直线a，b，c，1. 分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan =1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可. 学生分析求解 ，教师板书 例1 略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角 是锐角. 直线BC的斜率k2 = �C0.5＜0，所以它的倾斜角 是锐角. 例2 略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，根据斜率公

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