有理数的定义

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有理数的定义

有理数可分为整数和分数。英文：rational number读音：yǒu lǐ sh整数和分数统称为有理数 ,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m ,n都是整数 ,且n0)的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数 ,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。数学上 ,有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio) ,通常写作 a/b ,故又称作分数。希腊文称为 ,原意为成比例的数(rational number) ,但中文翻译不恰当 ,逐渐变成有道理的数。 无限不循环小数称之为无理数(例如：圆周率)有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数：

(1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 (2)分数包含了：正分数、负分数统称为分数。

(3)小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数 ,因为分小互化。

如3 ,-98.11 ,5.72727272 ,7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合 ,即有理数集合 ,用粗体字母Q表示 ,较现代的一些数学书那么用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集 ,即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域 ,即在其中可进行四那么运算(0作除数除外) ,而且对于

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这些运算 ,以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数)：①加法的交换律 a+b=b+a;②加法的结合律

a+(b+c)=(a+b)+c;③存在数0 ,使 0+a=a+0=a;④乘法的交换律 ab=ba;⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外 ,有理数是一个序域 ,即在其上存在一个次序关系。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域 ,即对有理数a和b ,a0 ,b0 ,必可找到一个自然数n ,使nba。由此不难推知 ,不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。有理数这一名称不免叫人费解 ,有理数并不比别的数更有道理。事实上 ,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来 ,在英语中是(rational number) ,而(rational)通常的意义是理性的。中国在近代翻译西方科学著作 ,依据日语中的翻译方法 ,以讹传讹 ,把它译成了有理数。但是 ,这个词来源于古希腊 ,其英文词根为(ratio) ,就是比率的意思(这里的词根是英语中的 ,希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁 ,就是整数的比。与之相对 ,而无理数就是不能精确表示为两个整数之比的数 ,而并非没有道理(无理数就是无限不循环小数 ,也是其中一个无理数)。

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