变式教学在“相似三角形”习题课中的运用

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变式教学在“相似三角形”习题课中的运用

无锡市南长实验中学 陈 侣

【本文摘要】当今，变式教学已经成为教师教法中一个热门的研究方向，它的核心是通过构造一系列变式的方法，吸引学生的注意力，对学生进行有效的思维训练。做习题是训练学生思维的重要途径，但面对大量的数学习题，我们应该如何组织与取舍，如何让学生抓住最本质的东西而不被千变万化的表象所迷惑，那么变式教学是一种有效的手段。本文从课堂习题的变式出发，以“相似三角形”的习题课为例进行两种不同角度的变式，从而来提高学生运用相关知识解决问题的能力，达到举一反三、触类旁通的效果。 【正文】

当今，变式教学已经成为教师教法中一个热门的研究方向，它的核心是通过构造一系列变式的方法，吸引学生的注意力，对学生进行有效的思维训练。数学中变式教学的形式多样，在探索概念、定理、公式时，或者在对概念的理解辨析时，或是在习题训练时都可运用变式教学。笔者主要对于课堂习题的变式，以“相似三角形”习题变式为例，谈一谈自己的一些见解。

相似三角形的性质与判定在综合题中的运用十分广泛，相关习题也是千变万化，数不胜数。如何让学生摆脱题海的困扰，抓住问题的本质，找到解决一类题型的方法那么变式教学是一种有效的手段。接下来，笔者就以一道习题为例进行两种不同角度的变式，阐述如何引导学生掌握解决一类题型的方法。

（一）运用变式改变某种规律呈现的载体，由浅入深，抓住解决问题的本质。

原题型：已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、G分别在BC、CD上，BE=2，点F是AB的中点，且∠FEG=90°，求CG的长。 D A 分析：通过∠BFE+∠FEB=90°，∠FEB+∠GEC=90°，

G 得∠BFE=∠GEC，又因为∠B=∠C=90°,可得△BEF∽△CGE，

F BFBE

再通过 得出CG的值。

CECG

此题中，引导学生意识到要解决线段长度的问题，借助相似

B C E

三角形的性质是一种有效的工具，那么如何去寻找相似三角形

是至关重要的一步。在此题中，三个特殊位置上的90°角能帮助我们得到一对相等的角。

A 变式（1）：已知等边三角形ABC中，AB=4cm，点D、E分别在BC、CD上，

且∠ADE=90°，BD=3，CE=2，求△ABC的边长.

分析：通过∠ADB+∠BAD=60°，∠ADB+∠EDC=60°， 得∠BAD=∠EDC，又因为∠B=∠C=60°, 可得△ABD∽△DCE，再通过

ABBD

 以及设AB=x， CDCE

E

60°

解得AB的长度。

B C D



变式目的：通过对原题的变式，借助3个60°角，用同样的方法证明一对角相等，从而找到了相似三角形，解决了线段的问题，同时还结合了方程的思想。通过前两题，引导学生发现，如果存在某种特定位置上的三个角度相等，能通过等角的证明得到相似三角形，从而利用相似三角形的性质解决问题。


A

变式（2）：已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°， AB=2，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE=90°,

E

（1）若BD=1，求CE的长，

（2）若△ADE为等腰三角形，求线段AE的长。 45°

B D C

变式目的：通过上面两道题的训练，学生已经有能力迅速地完成第（1）小问，第（2）小问只是在第（1）的基础上进行拓展提升，结合等腰三角形分类讨论的思想。

整个变式过程，通过改变某种规律呈现的载体，既让学生掌握了发现相似三角形的一般规律及方法，达到触类旁通的效果，还在变式（1）（2）中分别加入方程及分类讨论的思想，对学生的综合能力有了一定的提升。



（二）运用变式引导学生善于利用或构造基本图形解决问题，培养数学思维。 原题型：已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、G分别在BC、CD上，

C BE=2，点F是AB的中点，且∠FEG=90°，求CG的长。

A D A D D

G G

F F F

H

B C B E 图（2） C E E 图（1）

引导学生从此题中抽象一个基本图形，即图（1），在此图形 B 的基础上加以变式及拓展。

变式（1）：将直线BC绕点E旋转至图（2）位置，过点F、G分别作FH⊥BC于点H，GD⊥BC于点D，则△EFH与△EDG相似吗？请说明理由。

分析：同原题型一样，可以通过同角的余角相等，得到一对相似三角形。

变式目的：通过这道变试题，引导学生对两种基本图形进行总结，发现向通过直角顶点的直线作垂线段，可以构造出一对相似三角形。

变式（2）: 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4 cm，DM=8 cm，AN=5 cm. 点P是CD上一点，DP=4cm，过点P作直线PQ∥AD，交AB于点Q，问：在PQ上是否存在一点H，使得△MNH为直角三角形？若存在，求出PH的值；若不存在，说明理由。

G



P

Q

首先引导学生对于直角三角形在直角顶点不确定的情况下进行分类讨论，画出对应图形，进行解答。


分析如下：①当∠MHN=90°时（如图①）， 由原题型中的基本图形得出△QNH∽△PHM，

QHQN

再根据相似三角形的性质得， PMPH

通过假设PH=x，即可得出答案。

②当∠MHN=90°时（如图②），

原题型中的基本图形并未完全显现，这时应引导 学生与原题型中的基本图形进行比较，添出缺失 的垂线段，即过点M作MQ⊥AB于点G,从而构 造出△QNH∽△GMN，解出答案。

③当∠HMN=90°时（如图③），

引导学生向过直角顶点M的线段CD作垂线段NG 来构造出△MHP∽△NMG，从来呈现出变式（1） 中的基本图形。

变式目的：引导学生从复杂图形中找到或构造出基 本图形。其实变式（2）中的三种讨论情况也展现

P

H Q P

图①

H Q H P G

G 图②

了一个变式的过程，从情况①的直接利用基本图形 进行解答，到情况②、③中通过添加辅助线分别构 造基本图形来解题，既强化了学生运用相似三角形 解决问题的能力，也培养了学生在不同背景下善于

Q 利用基本图形的数学思维。 图③



变式教学在“相似三角形”习题课中的运用仅仅是一个范例，教师可以在每一节概念课或者习题课中合理地运用这一教法。利用变式教学，可以把一个个看似孤立却有着相同本质的问题联系起来，由一道习题从不同角度层层向外扩散，既能调动学生学习的积极性，摆脱枯燥乏味的题海战术，又能帮助学生在解答问题的过程中寻找和总结解决类似问题的思路与方法，达到举一反三、触类旁通的效果。让我们每一位教师不要停止研究“变式教学”的脚步，真正地把对学生能力的培养落到实处。

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