因式分解之换元法和主元法

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分解方法的延拓

一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．

所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．

所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．

【例1】 分解因式：(x4x24)(x4x23)10= ．

【例2】 多项式x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz因式分解后的结果是( )． A．(y－z)(x+y)(x－z) B．(y－z)(x－y)(x＋z) C． (y+z)(x一y)(x+z) D．(y十z)(x+y)(x一z)

【例3】把下列各式分解因式：

(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x； (2)1999x一(1999一1)x一1999； (3)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)；

(4)(2x－3y)十(3x－2y)－125(x－y)．

配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．

【例2】分解因式：4x24xy24y3= ．

【例2】如果x3ax2bx8有两个因式x+1和x+2，则a+b＝( )．

3

3

3

2

2

2

2


【例3】把下列各式分解因式： (1)x47x21；

（2）x4x22ax1a2； (3)(1y)22x2(1y2)x4(1y)2；

(4)x42x33x22x1

【例4】k为何值时，多项式x22xyky23x5y2能分解成两个一次因式的积?

【例5】 如果多项式x2(a5)x5a1能分解成两个一次因式(xb)、(xc)的乘积(b、c为整数)，则a的值应为多少? 训练

1．(1)完成下列配方问题：x22px1x22px()



(

)(x)2()

（2）分解因式：a2b24a2b3的结果是 ． 2．若x33x23xk有一个因式是x+1，则k＝ ． 3．若x22xyy2a(xy)25是完全平方式，则a= ．

4．已知多项式2x23xy2y2x8y6可以i分解为(x2ym)(2xyn)的形式，那么

m31n1

2

的值是 ．

ab

的值为( ) ab

5．已知a2b24a2b50，则 A．3 B．

11 C．3 D．

33

6．如果 a、b是整数，且x2x1是ax3bx21的因式．那么b的值为( ) A．－2 B．－l C．0 D．2


7．a44d分解因式的结果是（ ）

A．(a22a2)(a22a2) B．(a22a2)(a22a2) C．(a22a2)(a22a2) D．(a22a2)(a22a2) 8．把下列各式分解因式： (1)a416b4；

(2)x4x2y2y4；

(3)x2(1x)2(xx2)2；

（4）(ca)24(bc)(ab)；

(5)x39x8；

（6）x32x25x6

9．已知x22x5是x4ax2b的一个因式，求ab的值．

10．已知x2x6是多项式2x4x3ax2bxab1的因式，则a＝ ．

11．一个二次三项式的完全平方式是x46x37x2axb，那么这个二次三项式是 ．

12．已知x2y2z22x4y6z140，则(xyz)2002= ．

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