三角形的内角和问题

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三角形的內角和問題

利用歐幾里得的平行公理及其等價定理即可証明『三角形三內角之和為180o定理及其證明記載於歐氏《幾何原本》第一卷的命題32，證明如下：

第一卷命題32

在任意三角形中，如果延長一邊。則外角等於二內對角的和，而且三角形的三個內角的和等於二直角。 設ABC是一個三角形，延長其一邊BC至D。則可證外角ACD等於兩個內對角CAB，ABC的和且三角形的三個內角

ABC、BCA、CAB的和等於二直角。

事實上，過點C作平行於直線AB的直線CE。﹝I. 31﹞

這樣，由於AB平行於CD，且AC和它們同時相交，其錯角BAC，ACE彼此相等﹝I. 29﹞ 又因為，AB平行於CE，且直線BD同時和它們相交，同位角ECD與角ABC相等。﹝I. 29﹞ 但是已經證明了角ACE也等於角BAC； 故整體角ACD等於兩內對角BAC、ABC的和。 給以上各角加上ACB。

於是角ACD、ACB的和等於三個角ABC、BCA、CAB的和。 但角ACD、ACB的和等於二直角。﹝I. 13﹞ 所以，角ABC、BCA、CAB的和也等於二直角。 證完

﹝取材自藍紀正，朱恩寬﹝1992﹞。《歐幾里得‧幾何原本》，頁27。台北：九章出版社。﹞ 但若不用這條公理，又何以証明呢？

法國著名數學家勒讓德﹝1752─1833﹞為此作出研究，並於1794年出版了被世界各國廣泛採用為初等幾何教材的《幾何原理》。書中他重新排列歐幾里得的幾何命題，把定理與一般命題分列，簡化証明之餘，仍保持邏輯上的嚴密性。書中亦提及『三角形三內角和不大於180o』這著名的命題，其証明步驟如下： 於直線上取AC=CC1=...=Cn-2Cn-1，作全等三角形△ABC△CB1C1...△Cn-2Bn-1Cn-1，連BB1,B1B2,...,Bn-2Bn-1，得全等三角形△BCB1△B1C1B2...△Bn-1Bn-2Cn-1 。拼作△B0AB△BCB1﹝此時認為B0,B,B1,...,Bn-1在一條直線上並無根據的﹞。

若△ABC的三內角和大於180o，必使角α大於角β，故AC>BB1，但AB0 + B0B +...+ Bn-1Cn-1>AC + CC1 +...+ Cn-2Cn-1，故2AB0 + nBB1>nAC，即n(AC-BB1)<2AB0=2BC，並一切自然數n都合符上式，這與阿基米德公理﹝對於任意二個正實數a與b，必存在正整數n，使na ≧ b成立﹞矛盾，故此，三角形三內角和不大於180o。

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