立体几何

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立体几何

一、几何体

1、柱、锥、台、球的结构特征

有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )

A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对

主视图 左视图 俯视图 知识点：2、几何体的表面积和体积 侧面积和全面积

体积

棱柱 S侧面积 S全面积 V 棱锥 S侧面积 S全面积 V

圆柱 S侧面积 S全面积 V 圆锥

S侧面积 S全面积

V

习题：

1. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为

A. 1:2:3 B. 1:3:5 C. 1:2:4 D. 1:3:9 2. 已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1:V2

A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1

5、 若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是600

，则圆锥的体积是_______。 知识点：3、球与球组合体

球的表面积公式： 球的体积公式： 习题：

1. 若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的 （ ）

（A）3倍

（B）27倍

（C）33倍

（D）33倍

2. 已知正方体的全面积为24，求

（1） 求外接球的表面积； （2）求内切球的表面积. 二、空间点线面

知识点：1、平面的基本性质

公理1： 公理2： 公理3： 推论1、 推论2、 推论3、 公理４

等角定理

2、空间直线的位置关系： 习题：

1. 下列说法正确的是 ( )

A．平面α和平面β只有一个公共点 B. 两两相交的三条线共面

C. 不共面的四点中, 任何三点不共线 D. 有三个公共点的两平面必重合

2. 给出下面四个命题：① 在空间过直线外一点，作这条直线的平行线只能有一条；② 既不平行又不相

交的两条直线是异面直线；③ 两两平行的三条直线确定三个平面；④不在同一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是 （ ） A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个 知识点3、直线和平面的位置关系 （1）位置关系

（2）线面平行的判定定理： （3）线面平行的性质定理：

习题：

1. 下列各命题：

（1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行；

（3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平行。 其中假命题的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，∩=l，则l （ ） （A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交

3. 已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E、F分别为BC、PA的中点，求证：BF∥平面PED

知识点4：

线面垂直的判定定理 线面垂直的性质定理（3个）

三垂线定理及其逆定理


习题：

1. 直线m、n和平面、，的一个充分条件是（ ）

(A)mn,m//,n// (B)m//n,m,n (C)mn,m,n (D)m//n,n,m

2. 下面四个命题

① 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 ② 过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直

③ 一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线和这个平面垂直 ④ 垂直于同一平面的两条直线互相平行 其中真命题个数为（ ）

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3. 已知O为三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影，若PAPBPC，则O为ABC的心；若有PABC,PBAC，则O为ABC的 心；若P到ABC三边的距离相等，则O为ABC的 心。

4. 在RtABC中，ABC900

，SA面ABC，点A在SB、SC上的射影分别是M、N

①求证：BC面SAB ②求证：AM面SBC S

N

③求证：SCMN j

M

A

C

B



5. 四面体ABCS中SA,SB,SC两两垂直，SBA45o

，SBC60o

，M为AB的中点，求（1）BC

与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成的角的正弦值。

6. 在三棱锥ABCD中，若BACCADDAB60o

，AB3,ACAD2（1）求证

ABCD（2）求AB与平面BCD所成的角。



知识点5、面面位置关系 面面位置关系： 面面平行的判定定理： 面面平行的性质定理（2个）：

习题

1. 命题：（1）如果一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（2）如果一个平面

内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（3）如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；（4）如果一个平面内一个角（锐角或钝角）

的两边和另一个平面内的一个角的两边分别平行，那么这两个平面平行。正确的是（ ）

A只有（1）（2）（4） B只有（2）（3）（4） C只有（3）（4） D四个命题都不正确

2、B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，求证：平面MNG∥平面ACD







知识点6、 面面垂直的判定定理：

面面垂直的性质定理：

习题

1. 不能肯定两个平面一定垂直的情况是

（A）两个平面相交，所成二面角是直二面角.（B）一个平面经过另一个平面的一条垂线.

（C）一个平面垂直于另一个平面内的一条直线.（D）平面内的直线a与平面内的直线b是垂直的. 2. 如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈β，B∈α，且AB与l所成的角为，A、B到l的距离分别为

1、，则线段AB的长是 （ ）

A β A 4 B

233 C 43

3

D 3 α B

3. 如图，设S是△ABC所在平面外一点，SASBSC,ASBASC60,BSC90，求证：

S

平面ABC⊥平面BSC。

A

C



B




知识点7：二面角

1. 正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1中点，求面AB1E与面ABCDA1B1C1D1所成锐角的余弦。

2. 在长方体A1B1C1D1中，AB2,BCBB11，E为的D1C1中点，求二面角EBDC的正切

值。



3. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，设对角线BD把⊿ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求

二面角A-BD-C的大小. A

C D





A′ B



4. 底面是等腰直角三角形的直三棱柱ABCA1B1C1,C



2

,AA1ACa,D是CC1的中点，①求

证：平面AB1D平面AB1B；②求二面角BB1DA的大小。



知识点8、综合

1. 如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：

（1）APMN．（2）平面MNP∥平面A1BD．（3）求二面角MPNC1 D

C

A

B

D1

C1

A1

B1



2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中， （1）P、Q为别是B1D1、A1B上的点且B1P

11

3B1D1，BQ3

A1B（如图1），求证：PQ//平面AA1D1D；

（2）M、N分别是A1B1、BB1的中点（如图2），求直线AM与CN所成的角；

（3）E、F分别是AB、BC的中点（如图3），试问在棱DD1上能否找到一点H，使BH平面B1EF？

若能，试确定点H的位置，若不能，请说明理由。

D'

D'C'D'C' PC'MA'B'AB' A'

B''

N QDD D

CCCAAEBF A图1B图2B

图3



P2. 如图，在三棱锥P—ABC中，PA=PC，∠APC=∠ACB=90°，∠BAC=30°，

且平面PAC⊥平面ABC.

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）求二面角P—AB—C的正弦值；

A

DC（3）若PA=2，求三棱锥P—ABC的体积. E

B

3. 直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，ACB90，E是AA1的中点，D是AB的中

点，（1）求异面直线DC与EB1所成角的余弦值（2）求证DB1⊥平面CDE（3）求二面角C-EB1-D。

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