三角形的外心及性质

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三角形外心及性质

定义

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．

三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上

三条中垂线共点证明 ∵l、m为中垂线 ∴AF=BF=FC

所以BC中垂线必过F 三角形外心的性质

设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．

性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内； （2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外.

性质2：∠BGC=2∠A，（或∠BGC=2(180°-∠A). 性质3：∠GAC+∠B=90°

证明：如图所示延长AG与圆交与P ∵A、C、B、P四点共圆 ∴∠P=∠B ∵∠P+∠GAC=90°

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∴∠GAC+∠B=90°

性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：

（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).

或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.

性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。

性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.

三角形外心的做法

分别作三角形两边的中垂线交点计作O 以O为圆心OA为半径画圆 圆O即为所求 外心的求法

设三角形三边及其对角分别为a、b、c，∠A、∠B、∠C 正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC） r=abc/（4S△ABC）

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