等比数列的通项公式

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等比数列的通项公式

已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝14，a1·a2·a3＝64，求an.

【解】 解法一 ∵a1·a3＝a22， ∴a1·a2·a3＝a23＝64，∴a2＝4. a1＋a3＝10∴，∴a1＝2，a3＝8或a1＝8，a3＝2. a3＝16a1·

1

当a1＝2时，q＝2；当a1＝8时，q＝.

2

1－－－

∴an＝2·2n1＝2n或an＝8·()n1＝24n.

2

解法二 由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2

a1＋a1q＋a1q2＝14

代入已知得 2

a·aq·aq＝64111





2

a1(1＋q＋q)＝14即33， a·q＝641

2a1(1＋q＋q)＝14 ①即， a1q＝4 ②





44

将a1＝代入①得＋4q＝10，

qq

1

解得q＝2或，∴a1＝2或8.

2

1－－－

∴an＝2·2n1＝2n或an＝8·()n1＝24n.

2

5

1．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求an.

4






等比数列的判定

1

已知数列{an}的前n项和为Sn＝(an－1)(n∈N*)．

3

(1)求a1，a2；

(2)求证：数列{an}是等比数列．

【思路分析】 已知条件是数列的和Sn与项an的关系，要用到它们之间的关系an＝S1(n＝1)，判定等比数列需要用到等比数列的定义． Sn－Sn－1(n≥2)，

(1)【解】 当n＝1时，a1＝S1，

11

所以S1＝(a1－1)＝a1，解得a1＝－.

32

11

当n＝2时，S2＝(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝.

34

1

(2)【证明】 当n≥2时，Sn＝(an－1)，①

3

1

Sn－1＝(an－1－1)，②

3

1

①－②得an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，

3an1

整理得2an＝－an－1，所以＝－.

2an－1

所以数列{an}是等比数列．





2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋2an－1＋3＝0(n≥2)． (1)判断数列{an＋1}是否为等比数列？并说明理由； (2)求an.

等比数列的应用

从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶

液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?

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