离散数学习题一,二参考答案

2024-02-20 14:56:31   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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《离散数学》习题一参考答案

第一节 集合的基数

1.证明两个可数集的并是可数集。

证明:设AB是两可数集,A{a1,a2,a3,,an,}B{b1,b2,b3,,bn,}

ABN

f:ai2i1 f是一一对应关系,所以|AB|=|N|=0 b2jj

2.证明有限可数集的并是可数集

证:A1,A2,A3Ak是有限个可数集,Ai(ai1,ai2,ai3,ain,),i1,2,3,,k

kkAAiN

f是一一对应关系,所以|A|=|Ai|=|N|=0 f:i1

i1aijj(k1)i



3.证明可数个可数集的并是可数集。

证:A1,A2,A3Ak是无限个可数集,Ai(ai1,ai2,ai3,ain,),i1,2,3,





AAiNi1f: 1aij(ij1)(ij2)i

2

所以f是一一对应关系,所以|A|=|

A|=|N|=

i



0

i1



4.证明整系数多项式所构成的集合是可数集。 证明:设整系数n次多项式的全体记为

An{a0xna1xn1an1xan|aiZ}

则整系数多项式所构成的集合AAn

N1

由于xk的系数ak是整数,那么所有xk的系数的全体所构成的集合是可数集,由习题2“有限个可数集的并是可数集”可得An是可数集,再又习题4“可数个可数集的并是可数集”得出整系数多项式所构成的集合AAn也是可数集。

N1


5.证明不存在与自己的真子集等势的有限集合.

证明:设集合A 是有限集,则|A|=n,若BA的真子集,则|B||A|=nA-Bφ,即|A-B|=|A|-|AB|0;又A=A-B)∪BA-BB=φ,所以,,就是|A||B|,即得结论。

6.证明正有理数集合是可数集,从而能证明有理数集是可数集。

m

证明:因为Q{|m,nN},是正分数集,

n



n

Ai{|nN},i1,2,3,4,,m}Ai是可数集,并QAi

ii1

由可数集性质4“可数个可数集的并仍然是可数集”,所以正有理数集合是可数

集。

有理数集Q=Q{0}Q,由可数集性质12,马上可得有理数集是可数集。 7AB为无限集,试说明下面的集合是否是无限集。 1AB 2AB3AB4A×B 答:1AB是无限集,由可数集性质(2)可得。 2AB不一定是无限集,若AB=φ,则|AB|=0 3AB不一定是无限集,若A=B,则AB=φ

4A×B是无限集。相当于无限个无限集的并是无限集。 8.已知A{n7|nN}B{n109|nN},求 1AB的基数;2ABAB的基数。

A[n7|nN)N解:1f:f是一一对应关系,所以|A|=N|=0 7

nn

B[n109|nN)N

f:f是一一对应关系,所以|B|=N|=0 109

nn

2)有可数集性质(2)可得AB是可数集,既| AB|=N|=0 因为(n7)109(n109)7AB,所以ABφ

AB[(n109)7|nN)N

f是一一对应关系,所以| AB|=N|=0 f:1097

(n)n9.A为任意集合,证明PA)与{01} A等势,其中{01} AA{01}

全体函数。

1xA

解:若fA(x)A{01}上的一个集函数,则fA(x)

0xA

fρA)→{0,1}

B fB(x) 所以f是一一对应的,即ρA)与{0,1}等势。

A

A


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