中国数学奥林匹克第八届试题

2022-03-21 08:57:20 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《中国数学奥林匹克第八届试题》，欢迎阅读！
奥林匹克,中国,试题,数学
第八届中国数学奥林匹克 (1993年)

1. 设n是奇数，试证明存在2n个整数a1, a2, ... , an；b1, b2, ... , bn，使得对于任意一个整数k，0，下列3n个数ai+ai，ai+bi，bi+ bi+k其中i=1, 2, ..., n，=, 0< j被3n除时余数互不相同。

2. 给定自然数k及实数a>0，在下列条件k1+ k2+ ... +kn=k，ki为自然数其中1≦r≦k下，求ak1+ ak2+ ... + akr的最大值。

3. 设圆K和K1同心，它们的半径分别为R和R1，R1>R。四边形ABCD内接于圆K，四边形A1B1C1D1内接于圆K1，点A1、B1、C1、D1分别在射线CD、DA、AB、BC上，求证：SA1B1C1D1 /SABCD≧ R12/R2。

4. 给定集合S={z1, z2, ... , z1993}，其中z1, z2, ... , z1993是非零复数(可看作平面试的非零向量)。求证可以把S中的元素分成若干组，使得 i. ii. iii.

S中每个元素属于且仅属于其中一组；

每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过90。；将任意两组中复数分别求和，求得和数之间的夹角大于90。。

5. 10人到书店买书，已知

i. ii.

每人都买了三种书；

任何两人所买的书，都至少有一种相同。

问购买人数最多的一种书最(至)少有几人购买？说明理由。

6. 设函数f：(0, +∞)→(0, +∞)满足以下条件：对于任意正实数x、y，有f(xy)≦f(x)f(y)。试证：对任意的正实数x及自然数n，有f(xn)≦f(x)f(x2)1/2...f(x)1/n。