有理数的定义

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有理数的定义

有理数可分为整数和分数。英文：rational number读音：yǒu lǐ sh整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n(m，n都是整数，且n0)的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 ，原意为成比例的数(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成有道理的数。 无限不循环小数称之为无理数(例如：圆周率)有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数：

(1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 (2)分数包含了：正分数、负分数统称为分数。

(3)小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。

如3，-98.11，5.72727272，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集合，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书那么用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其中可进展四那么运算(0作除数除外)，而且对于

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这些运算，以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数)：①加法的交换律 a+b=b+a;②加法的结合律

a+(b+c)=(a+b)+c;③存在数0，使 0+a=a+0=a;④乘法的交换律 ab=ba;⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a0，b0，必可找到一个自然数n，使nba。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。有理数这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更有道理。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是(rational number)，而(rational)通常的意义是理性的。中国在近代翻译西方科学著作，根据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了有理数。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为(ratio)，就是比率的意思(这里的词根是英语中的，希腊语意义与之一样)。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的比。与之相对，而无理数就是不能准确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理(无理数就是无限不循环小数，也是其中一个无理数)。

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