不定积分基本公式证明

2023-04-27 18:45:15 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《不定积分基本公式证明》，欢迎阅读！
不定积分,公式,证明,基本
不定积分基本公式证明

不定积分基本公式是微积分中的重要公式之一，它描述了一个函数的原函数与该函数的积分之间的关系。不定积分基本公式可以用于求解许多复杂的积分问题。本文将介绍不定积分基本公式的证明。不定积分基本公式的表述为：若$f(x)$是一个连续函数，则$f(x)$的原函数为$F(x)$，则有$$int{f(x)dx} = F(x) + C$$其中，$C$为任意常数。

不定积分基本公式的证明可以分为两个步骤：第一步：证明$frac{d}{dx}(F(x)+C) = f(x)$

由于$f(x)$为连续函数，因此根据微积分基本定理可知，$frac{d}{dx}F(x) = f(x)$。而由于$C$为任意常数，$frac{d}{dx}C = 0$，因此有$$frac{d}{dx}(F(x)+C) = frac{d}{dx}F(x) + frac{d}{dx}C = f(x)+0 = f(x)$$

第二步：证明任意一个原函数$F(x)$都可以表示为$F(x) = int{f(x)dx} + C$

设$G(x) = F(x) - int{f(x)dx}$，则$$frac{d}{dx}G(x) = frac{d}{dx}F(x) - frac{d}{dx}int{f(x)dx}$$$$= f(x) - f(x) = 0$$

因此，$G(x)$为常数函数，即存在一个常数$C$，使得$G(x) = C$，即$$F(x) - int{f(x)dx} = C$$

移项即可得$$F(x) = int{f(x)dx} + C$$ 证毕。

- 1 -

综上所述，不定积分基本公式的证明可以分为两个步骤：证明$frac{d}{dx}(F(x)+C) = f(x)$和证明任意一个原函数$F(x)$都可以表示为$F(x) = int{f(x)dx} + C$。

- 2 -