直线的法向量

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学 案 数学导学案の复习案



☆高二数学☆ 利津二中高二数学组



三、典型例题

例1：如图5，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线AA1与BD1的距离。

AA1

D

向量法求空间的距离

学习目标：通过将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值运算，即借助向量法使解题模式化，用机械性操作把问题转化。 一、复习

1、如何用向量法求两条异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角？

2、若n1,n2分别为一个二面角的两个半平面的法向量，若n1,n2小为 二、新课导学

(1)点到平面的距离(如图1)：





D1

B1

C1

CB



2

，则此二面角的平面角的大3

P

n

图5

平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是MP在向量n方向射影的

|nMP|

绝对值，即d=.

|n|

(2)异面直线的距离(如图2)：

设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d=

ab



M图1

练习：如图5，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求面对角线B1C与体对角线BD1的距离。

M

n

P图2

|nMP|

|n|

l

P

n

(3)线到平面的距离(如图3)：

平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线



M图3

例2：设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(5,4,8)，求点D到平面ABC的距离。

l间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d=

|nMP|

. |n|

(4)平面到平面的距离(如图4)：



平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β



l

P

n

M图4

例4：已知二面角l的平面角为120，A,Bl,AC,BD，ACl,BDl，若

0

|nMP|

的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d=.

|n|

思考：上面几个距离公式的共性？





ABACBD1，求CD的长。



化腐朽为神奇，学然后知不足；知识改变命运，学习成就未来


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☆高二数学☆ 利津二中高二数学组



8、如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC13,BE1，求：（1）BF的长；

（2）点C到平面AEC1F的距离。

A

D

CB

C1

F

课后定时练习

已知直线l垂直平面，而平面的一个法向量为a(2,3,5)，则l的一个方向向量为（ ） A (6,9,15) B (6,9,15) C (2,2,2) D (2,2,2)

1、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点A1到平面ABC1D1的距离为（ ）



A

a

B 22a

C 22a2a D 43

2、正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CD的中点，F是AA1的中点，则异面直线C1E与BF所成角的大小为 。



4、如果正方体的对角线长为a，则它的棱长为 。

5、如图6，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求点P到平面EFB的距离。



MF

P

D

F

CB

A

图6

化腐朽为神奇，学然后知不足；知识改变命运，学习成就未来

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