三角形内角平分线的性质定理的证明

2024-03-10 23:52:26 文档大全网 [ 字体：小中大 ] [ 阅读： ]

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三角形内角平分线的性质定理的证明

本文介绍的是三角形内角平分线的性质定理及其证明。该定理可以分为两个部分，即三角形内角平分线分对边为两部分，且这两部分与两邻边成比例。现在我们将介绍四种不同的证明方法。

方法一：利用平行线作等比代换。我们作DE//BC，DE交AC于点E。根据已知条件∠1=∠2，我们可以得到∠2=∠3.同时，由平行线的性质可知DE=EC。因此，我们可以得到AD/AC=DE/EC=BD/BC，即AD/BD=AC/BC。

方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换。我们作BE//DC，BE交AC的延长线于点E。根据已知条件∠1=∠2，我们可以得到∠2=∠3.同时，由平行线的性质可知BC=CE。因此，我们可以得到AD/AC=AE/CE=BD/BC，即AD/BD=AC/BC。

方法三：进行逆推分析。我们可以在AC的延长线上作一个CE=BC，然后连接BE。由于∠2=∠ACB，我们可以得到

∠3=∠E。因此，BE//DC，从而可以得到AD/AC=AE/CE=BD/BC，即AD/BD=AC/BC。

方法四：改变三角形的内角大小。我们可以改变△ADC的一个内角的大小，把它改造为△AEC，使之与△XXX相似并作等量代换。在∠CAB的同侧，作∠CAE=∠B，AE与CD的延长线交于点E。由于∠1=∠2，我们可以得到△ACE∽△BCD。因此，我们可以得到AD/AC=AE/CE=BD/BC，即AD/BD=AC/BC。

以上是四种不同的证明方法，它们都可以证明三角形内角平分线分对边为两部分，且这两部分与两邻边成比例的性质定理。