2021年任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式

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*欧阳光明*创编 2021.03.07

一、任意三角形外接圆半径



欧阳光明（2021.03.07）

设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R，（如右图所示）

a2b2c2

cos()coscossinsin

2ab则

c

R

b

α β

a

（余弦定理）

b

b

cos2sin

R2R而，a

a

cos2sin

R2R，

2

b2

R

4R

2

a2

R

4R

2

b2a22

RR

a2b2c2ba44

2R2RRR即有：2ab

2222

a2b2c2ab(4Rb)(4Ra)



ab2R2即有：

a2b2c2

ab2R()(4R2b2)(4R2a2)

ab所以：

2

即

2

2

2

2

2

4

有：

a2b2c22

(ab)4R(abc)4R()16R44(a2b2)R2a2b2

ab a2b2c22

cR[4()]2222222222

ab所以：，即：abcR[4ab(abc)]

2

2

R

abc

(abc)(abc)(acb)(bca)



所以：

而三角形面积：4S(abc)(abc)(acb)(bca) （海伦公式）

*欧阳光明*创编 2021.03.07


*欧阳光明*创编 2021.03.07 abcR

4S 所以，有：

b2y c2a2ay cosA2R

2bc※ 另一求法，可用正弦定理，即：sinA，而

R c b

所以：

z x 二、任意三角形内切圆的半径

α r

α 设三角形各边边长分别为a,b,c

内切圆半径为r，（如右图所示） 所以，会有

xza



xybabc

xyzc

2，解得

z

a

x

因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，

1(cos2)2sin2

tan

rxtan1cos21cos2 显然：，而

a2b2c2

cos2

2ab而由余弦定理有：

a2b2c22

1()

2ab

tan

a2b2c21

2ab所以：

4(ab)2(a2b2c2)2

(abc)(abc)



22222

abc4(ab)(abc)r

2(abc)(abc)即有:4(ab)2(a2b2c2)2

2(abc)

(abc)(abc)(acb)(bca)4S2S

r

2(abc)2(abc)abc 即：

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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