利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)

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利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）

隔板法就是在n个元素间，插入b1个板，把n个元素分成b组的方法。

一、放球问题。

例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？

解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在

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11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C11种排法。所以，把8个相同的球放入4个不同

3的盒子，有C11165种不同方法。

点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。

二、指标分配问题。

例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？ 解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。分两步。第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。取615块相同隔板，连同4个相同名额排成

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一排，共9个位置。由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有C9种排法。由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有5C9126种不同分法。

点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。 三、求n项展开式的项数。

例3、求x1x2x5展开式中共有多少项？

解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有x1、x2、、x5的5个不同的盒子表示数x1、x2、、x5，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有

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xii1，2，，5的每个盒子得到的小球数kii1，2，，5，kiN，记作xi的ki次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。取514块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。由隔板法知，在14

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个位置中任取4个位置排上隔板，有C14种排法。故x1x2x5的展开式中共有

4C141001项。

四、求n元一次方程组的非负整数解。

例4、求方程x1x2x57的正整数解的个数。

解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有x1、x2、、x5的5个不同的盒子表示均不能为0的正整数未知数x1、x2、、x5。要得到方程x1x2x57的正整数解的个数，分两步。第一步：5个盒子每个盒子先分配1个小球，只有1种分法；第二步：将剩下的2个小球分配给5个盒子。取514块相同隔板，连同2个相同小球排成一排，

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共6个位置。由隔板法知，在6个位置中任取4个位置排上隔板，有C6种排法。由分步计

数原理知：共有C6种放法。我们把标有xii1，2，，5的每个盒子得到的小球数

4

2，，5，kiN，记作：xiki。这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子kii1，

中的每一种放法，就对应着方程x1x2x57的每一组解k1，k2，，k5。所以，

4方程x1x2x57的正整数解共有C615个。

例3例4点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程x1x2x57的非负（或正）整数解的个数的理论依据。

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