介绍两个重要的母子三角形

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介绍两个重要的“母子三角形”

在相似形中，有两个重要的“母子三角形”，它们分别是“母子直角三角形”与“母子等腰三角形”．同学们如能了解并掌握它，对于提高解题能力是有所帮助的，所以我们在这里特别予以介绍．

一、母子直角三角形

如图，在直角三角形ABC中，作斜边上的高AD，把△ABC分成Rt△ABD、Rt△CAD，这两个小三角形彼此相似，并且与原Rt△CBA相似．由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，又小三角形与大三角形彼此相似，宛如母子神似，故形象地称为“母子直角三角形”．



∵Rt△ABC∽Rt△DBA∽Rt△DAC，



即AB2=BD·BC，AD2=BD·DC，AC2=CD·BC．

母子直角三角形之所以重要，就是因为这三个等积式所反映的关系，在相似形解题中扮演着重要的角色，应用是十分广泛的．

用它来证明勾股定理十分简单． 事实上，利用图，有 AB2+AC2=BD·BC+CD·BC =BC(BD+CD) =BC2

用母子直角三角形的这三个等积式来证明有关平方或立方的线段等式，也显得比较方便．

例1 已知：如图，在Rt△ABC中，斜边上的高CD=h，BC=a，AC=b．

简析：由于求证式中有a2，b2，h2形式，再根据已知图形具备有母子直角三角形所示的条件，因此可以考虑用三个等积式来证．




证明：∵a2=BD·AB，b2=AD·AB，



∴h2=AD·BD．



例2 在△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．

求证：CD3=AF·BE·AB．

分析：如图，由题设可知，Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD都具备有母子直角三角形所示的条件．所以我们可以反复应用与其相应的三个等积式，再借助于三角形的面积公式，便可达到求证的目的．



证明：∵AD2=AF·AC，BD2=BE·BC， ∴AD2·BD2=AF·AC·BE·BC， 又∵AD·BD=CD2，AC·BC=CD·AB， ∴CD4=AD2·BD2=AF·BE·AB·CD 即CD3=AF·BE·AB．

从以上例子可以看出：应用时，必须在图形中，抓住直角三角形斜边上的高这一关键，这样我们才能灵活地运用母子直角三角形这一基本图形，来解决有关实际问题．

二、母子等腰三角形

如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=36°，作∠C的平分线CD，交AB于D，可算出∠BCD=36°．


又∵∠B=∠CDB=72° ∴等腰△ABC∽等腰△CBD．

另一个△ADC虽和△ABC不相似，但因∠ACD=36°，则有AD=DC，从而都是等腰三角形．这和原三角形有相近之处，故我们也把这样的几个三角形称为“母子等腰三角形”．

母子等腰三角形之所以重要，是因为它与黄金分割有着千丝万缕的关系．



如上图，若令AB=a，设BC=x，则CD=AD=x，BD=a－x， 由等腰△ABC∽等腰△CBD，则有



亦即 x2+ax－a2=0．



由上述的计算说明了这样一个结论：“顶角为36°的等腰三角形，底角平分线将其一腰分成两段，其分点即为黄金分割点．”它有着很重要的实用价值，比如它可用来作正五角星，作正十边形等，这在以后我们将要学习到．”

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