函数的基本性质奇偶性教案2

2022-03-21 00:23:18   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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研卷知古今;藏书教子孙。

13函数的基本性质-----奇偶性

(一)教学目标

1.知识与技能:

使学生理解奇函数、偶函数的概念,学会运用定义判断函数的奇偶性. 2.过程与方法:

通过设置问题情境培养学生判断、推断的能力. 3.情感、态度与价值观:

通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操. 通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神,使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系,培养学生善于探索的思维品质. (二)教学重点与难点

重点:函数的奇偶性的概念; 难点:函数奇偶性的判断. (三)教学方法

应用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法,通过设置问题引导学生观察分析归纳,形成概念,使学生在独立思考的基础上进行合作交流,在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解. 对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理,使学生边学边练,及时巩固. (四)教学过程 一.复习与回顾

1、在初中学习的轴对称图形和中心对称图形的定义是什么? 2、要求学生同桌两人分别画出函数f (x) =x3g (x) = x2的图象.

3、多媒体屏幕上展示函数f (x) =x3和函数g (x) = x2的图象,并让学生分别求出x =±3x =±2

x =±,… 的函数值,同时令两个函数图象上对应的点在两个函数图象上闪现,让学生发现两个函数的对称性反映到函数值上具有的特性:f (x) = f (x)g (x) = g (x). 然后通过解析式给出证明,进一步说明这两个特性对定义域内的任意一个x都成立. 二.新课讲授

1奇函数、偶函数的定义:

奇函数:设函数y = f (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有f (x) = f (x)

则这个函数叫奇函数.

偶函数:设函数y = g (x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有g ( x) = g (x)

则这个函数叫做偶函数.

问题1奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字,说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何

区别?

强调定义中“任意”二字,说明函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质,它不同于函数的单调性 . 问题2xx在几何上有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?

奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称. 问题3结合函数f (x) =x3的图象回答以下问题:

1)对于任意一个奇函数f (x),图象上的点P (xf (x))关于原点对称点P′的坐标是什么?

P′是否也在函数f (x)的图象上?由此可得到怎样的结论.

2)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性? 2、奇函数与偶函数图象的对称性:

如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.

如果一个函数是偶函数,则它的图形是以y轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关y轴对称,则这个函数是偶函数. 3举例分析

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研卷知古今;藏书教子孙。

1 判断下列函数的奇偶性;

1f (x) = x + x3 +x5 (奇) 2f (x) = x2 +1 (偶)

3f (x) = x + 1 (非奇非偶) 4f (x) = x2x[13] (非奇非偶) 5f (x) = 0. (既是奇函数又是偶函数的函数是函数值为0的常值函数. 前提是定义域关于原点对称). 归纳:1)根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是:

第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称;第二步判断f (x) = f (x)还是判断f (x) = f (x). 2)对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:

是奇函数但不是偶函数; 是偶函数但不是奇函数; 既是奇函数又是偶函数; 既不是奇函数也不是偶函数.

学生练习:

1、判断下列函数的是否具有奇偶性: (1) f (x) = x + x3 (奇) (2) f (x) = x2 (3) h (x) = x3 +1 非奇非偶

(4) k (x) =

1

x[12] 非奇非偶 (5) f (x) = (x + 1) (x 1) x21

1

. 2

x1

(6) g (x) = x (x + 1) 非奇非偶 (7) h (x) = x +3x (8) k (x) =

2、判断下列论断是否正确: 1 如果一个函数的定义域关于坐标原点对称,则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数;(错) 2)如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称,(对) 3)如果一个函数定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数;(错) 4)如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数为偶函数. (对)

3、如果f (0) = a0,函数f (x)可以是奇函数吗?可以是偶函数吗?为什么?

不能为奇函数但可以是偶函数)

4、如果函数f (x)g (x)为定义域相同的偶函数,试问F (x) =f (x) + g (x)是不是偶函数?是不是奇函数?为什么? (偶函数) 5、如图,给出了奇函数y = f (x)的局部图象,求f ( 4).

y 2

3

1 O

y 2

O 4

x

x



6、如图,给出了偶函数y = f (x)的局部图象,试比较f (1) f (3) 的大小. 2 1)设f (x)是偶函数,g (x)是奇函数,且f (x) + g (x) =

1

,求函数f (x)g (x)的解析式; x1

2)设函数f (x)是定义在(∞,0)(0+)上的奇函数,又f (x)(0+)上是减函数,且f (x)0

1

试判断函数F (x) =(∞,0)上的单调性,并给出证明.

f(x)解析:1)∵f (x)是偶函数,g (x)是奇函数, f (x) = f (x)g ( x) = g (x)

f (x) + g (x) =

1

x1



x代换xf (x) + g ( x) =

1

x1


研卷知古今;藏书教子孙。

f (x) g (x) =

1

x1



( + )÷2 = f (x) =

1x

()÷2 = g (x) =. 22

x1x1

2F (x)在(∞,0)是中增函数,以下进行证明:

x1x2(–∞0),且x1x2.

x = x2 x10x1x2(0+) x1 x2 (x) = (x2) (x1) = x1x2 = x0

f (x)在(0+∞)上是减函数,∴f (x2) f (x1)0

又∵f (x) (∞,0)(0+)上是奇函数,∴f (x1) = f (x1)f (x2) = f (x2) 由①式得 f (x2) + f (x1) 0,即f (x1) f (x2)0.

x1x20时,F (x2) F (x1) =11

f(x1)f(x2)f(xf(x

x 2)1)f(1)f(x2)又∵f (x) (0+)上总小于0

f (x1) = f (x1)0f (x2) = f (x2)0f (x1)·f (x2)0 f (x1) f (x2)0,∴F (x2) F (x1)0x = x2 x10

F (x) =1

f(x)(∞,0)上是增函数.

三.归纳总结:从知识、方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结. 四.布置作业: 习案:作业11


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