第二种数学归纳法

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第二种数学归纳法



数学归纳法（mathematical induction）是一种从特殊情况证明普遍情况的一种数学推理方法。它有时也被称为归纳法。它通过证明一个关于n的猜想对于整个正整数集合有效，从而证明该猜想对所有正整数都有效。 一、定义

数学归纳法（mathematical induction）指的是，从某个已知条件出发得出更一般的结论。通常被称为证明一组命题中所有命题的技术，这些命题都需要用归纳法得出。它是一种从特定情况推导普遍情况的数学推理方法。

二、原理

数学归纳法的原理是，假设对于每一个n（n为正整数），一个给定的假设都是有效的，那么，这个给定的假设也就对于所有正整数n都是有效的。这种证明，也就是已知P(n)的假设，就可以证明P(n+1)的假设。

三、步骤

1、基本步骤：首先，要证明假设必须满足P(1)，也就是一般正整数1的情况；

2、步骤一完成后，就可以从P(n)出发，设计一个连续单元，证明每个


数正确，也就是P(1)、P(2)、P(3)、P(4)...P(n)； 3、最后，要证明P(n+1)也是正确的；

4、经过以上步骤证明，可以认定给定假设P(n)对于所有正整数n都是有效的，最终，该假设就被证明有效。 四、举例

举例来说，对于P(n)的假设指出“对于任何正整数n，都有2n是偶数”，也就是说，P(n)表达为：“2n是偶数”。

首先，设n=1，即2×1=2，2为偶数，满足P(1)，证明P(1)有效；然后，假设P(n)有效，即2n是偶数。接着，证明P(n+1)即2n+2是偶数，根据P(n)有效，知道2n是偶数，因此2n+2=2×2n=4n是偶数，从而满足P(n+1)，也可以证明P(n+1)也是有效的；最后，经过以上三步，就可以认定”对于任何正整数n，都有2n是偶数”是有效的。

五、应用

数学归纳法被广泛应用于证明数学定理，比如数学分析中很多极限、统计学中的公式推导等。以上所述就是数学归纳法的定义，原理，步骤和举例， 以及它的应用。

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