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因式分解(1)
一知识点讲解
知识点一:因式分解概念:
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。 1.因式分解特征:因式分解的结果是几个整式的乘积。
2.因式分解与整式乘法关系:因式分解与整式的乘法是相反方向的变形 整式乘法
(ab)2a22abb2 (ab)2a22abb2 (ab)(ab)a2b2 (x3y)(x3y)x29y2
因式分解
a22abb2(ab)2 a22abb2(ab)2 a2b2(ab)(ab) x29y2(x3y)(x3y)
知识点二:寻找公因式
1、小学阶段我们学过求一组数字的最大公因(约)数方法:(短除法) 例如:求20,36,80的最大公(约)数?最大公倍数?
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2、寻找公因式的方法:
48
3a2y3ay6y , xy3x3y2 ,
927
a(xy)3b(xy)2(xy)3, -27a2b336a3b29a2b
1.确定公因式的系数 当多项式中各项系数是整数时,公因式的系数是多项式中各项
系数的最大公因数;
当多项式中各项系数是分数时,则公因式的系数为分数,而且分母取各项系数中分母的最小公倍数,分子取各项系数中分子的最大公因数。 2.确定相同字母 3.看次数 4.看整体 5.看符号
公因式的字母是各项都含有的字母 相同字母的指数取最低次数
如果多项式中含有相同的多项式,应将其看成整体不要拆开。 若多项式的首项是
,则公因式的符号一般为负。 “-”
知识点三:因式分解的方法(重点)
(一)因式分解的第一种方法(提公因式法)(重点):
1.提取公因式法:如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到括号外面,把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形,这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.符号语言:mambmcm(abc) 3.提公因式的步骤:
(1)确定公因式 (2)提出公因式并确定另一个因式(依据多项式除以单项式) 另一个因式原多项式
公因式
4.注意事项:因式分解一定要彻底
二、例题讲解
模块1:考察因式分解的概念
1. (2017春峄城区期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是( ) A、x96x(x3)(x3)6x B、(x5)(x2)x3x10 C、x8x16(x4) D、6ab2a3b
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2
2
2
2
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2. (2017秋抚宁县期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是( ) A、x22x3(x1)22 B、(xy)(xy)x2y2 C、x2xyy2(xy)2 D、2x2y2(xy) 3. (2017秋姑苏区期末)下列从左到右的运算是因式分解的是( ) A、2a22a12a(a1)1 B、(xy)(xy)x2y2 C、9x26x1(3x1)2 D、x2y2(xy)22xy
4.(2017秋华德县校级期末)下列各式从左到右的变形,是因式分解的是( ) A、3x2y15x1 B、(3a2b)(3a2b)9a24b2
22
C、xxx(1) D、2x28y22(x2y)(x2y)
1x
5. (2017春新城区校级期中)下列各式从左到右的变形是因式分解的是( ) A、a(ab)a2ab B、a22a1a(a2)1 C、x2xx(x1) D、xy2x2yx(y2xy)
6. (2016秋濮阳期末)下列式子中,从左到右的变形是因式分解的是( ) A、(x1)(x2)x23x2 B、x23x2(x1)(x2) C、x4x4x(x4)4 D、xy(xy)(xy)
2
2
2
模块2:考察公因式
32223
1. (2017春抚宁县期末)多项式15mn5mn20mn的公因式是( )
2222
A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn 2322233
2.(2017春东平县期中)把多项式8abc16abc24abc分解因式,应提的公因式是( )
2223333
A、8abc B、2abc C、4abc D、24abc 22
3.(2017秋凉州区末)多项式a9与a3a的公因式是( )
A、a3 C、a3 B、a1 D、a1 4.(2017春邵阳县期中)多项式8xyA、xy B、xy
m
n
m
n1m
n1
12x3myn的公因式是( )
m
n
m
n1
C、4xy D、4xy
32
5.(2016春深圳校级期中)多项式5mx25mx10mx各项的公因式是( )
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A、5mx2 B、5mx3 C、mx D、5mx 6.下列各组代数式中没有公因式的是( ) A、5m(ab)与ba B、(ab)2与ab C、mxy与xy D、a2ab与a2bab2
7.观察下列各组式子:①2ab和ab;②5m(ab)和ab;③3(ab)和ab;④x2y2和x2y2。其中有公因式的是( )
A、①② B、②③ C、③④ D、①④
模块3:利用提公因式法分解因式
①因式分解的第一种类型:直接提取公因式
1、分解因式:
2
(1) x3x (2)2x218x2y4xy2 (3) 6a(ab)4b(ab)
(4)
1511
abcab2a2bc (5)a2ba (6)xnxn1xn2
4655
②因式分解的第二种类型:变形后提取公因式
2. 分解因式:
(1)3a(xy)6b(yx) (2)a(xy)b(yx)c(xy)
③因式分解的第三种类型:分组后提取公因式
3. 分解因式:
(1)mxmynxny (2)2a4b3ma6mb
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模块4:提公因式法的综合应用 类型1:利用提公因式法进行简便计算
1.利用简便方法计算:
(1)3.2200.94.7200.9200.92.1 (2)36.8
13131320.22 555555
类型2:利用提公因式法进行化简求值
2.先分解因式,在计算求值:
(2x1)(3x2)(2x1)(3x2)x(12x)(3x2) 其中x=1.5
2
2
3. (2016秋唐河县期末)已知:ab2015,ab
22
4. 已知ab4,ab2,求多项式4ab4ab4a4b的值。
2016
,求a2bab2的值。 2015
2532
5. 若ab10,用因式分解法求ab(ababb)的值.
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6.若a2a10,则a2016a2015a2014= 。
7.不解方程组
2xy6
,求7y(x3y)22(3yx)3的值。
x3y1
类型3:拔高培优题型
8. (2015杭州模拟)已知(19x31)(13x17)(1713x)(11x23)可因式分解成
(axb)(30xc),其中a、b、c均为整数,求abc的值。
242
9.已知多项式x2012x2011x2012有一个因式为xax1,另一个因式为x2bx2012,求ab的值。
10. 求证:3
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2016
4320151032014能被7整除。
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11.已知a,b,c满足ababbcbccaca3,求(a1)(b1)(c1)的值。(a,b,c都是正整数)
12.(学霸题中题★★★)若x2x1是ax3bx21的一个因式,则b的值为( ) A、2 B、1 C、0 D、2
13.(2017合肥月考★★★)要使多项式x22xn能分解为两个整系数一次多项式之积,则不大于100的自然数n的个数为( ) A、8 B、9 C、10 D、11
14. (2016秋靖远县期末)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1xx(x1)x(x1)2(1x)[1xx(x1)](1x)2(1x)(1x)3
(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次。
(2)若分解1xx(x1)x(x1)2...x(x1)2004,则需应用上述方法 次,结果是 。
(3)分解因式:1xx(x1)x(x1)...x(x1)(n为正整数)。
2
n
一、选择题
2
1.(2017开县一模)当a,b互为相反数时,代数式aab4的值为( )
A、4 B、0 C、3 D、4
22
2.(2016秋乳山期末)边长为a,b的长方形周长为12,面积为10,则abab的值为( )
A、120 B、60 C、80 D、40
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3.(2017春蚌埠期末★)计算:(2)2016(2)2017所得的结果是( ) A、2 B、2 C、2
2016
D、2
2016
4.(2017春乐亭县期末)(8)2014(8)2013能被下列数整除的是( ) A、3 B、5 C、7 D、9
5.(2017春源城区校级月考)把多项式p2(a1)p(1a)分解因式的结果是( ) A、(a1)(p2p) B、(a1)(p2p) C、p(a1)(p1) D、p(a1)(p1) 6.(2017春阳谷县期末)把xn3xn1分解因式得( )
A、xn1(x21) B、xn(x3x) C、x(xn2xn) D、xn1(x2x) 7.(2017春北湖区校级期中)整式a(a1)a1的值( ) A、不是负数 B、恒为正数 C、恒为负数 D、结果的符号不确定
22
8.(2016赵县模拟)若ab3,a2b5,则ab2ab的值是( )
222
A、15 B、15 C、2 D、8
9.(2016春高密市期末)将3x(ab)9y(ba)因式分解,应提的公因式是( ) A、3x9y B、3x9y C、ab D、3(ab) 10.(2016春临清市期末)计算(3)m2(3)m1,得( ) A、3
m1
B、(3)
m1
C、(3)
m1
D、(3)
m
22
11.(2016春深圳期末)若ab3,ab2,则代数式abab的值为( )
A、1 B、1 C、6 D、6
12.(2016秋美兰区校级期中)若ab5,c2,则acbc等于( ) A、10 B、10 C、3 D、3
13.(2016秋简阳市期中)如果多项式mxA可分解为m(xy),则A为( ) A、m B、my C、y D、my
22
14.(2016春深圳期中)若ab2,ab3,则abab的值为( )
A、6 B、5 C、6 D、5
15.(2016春港南区期中)设Pa(abc),Qa(aabac),则P与Q的关系是( )
A、PQ B、PQ C、PQ D、互为相反数
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2
2
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16.(2016春锡山区校级月考)计算:22014(2)2015的结果是( ) A、2
2015
B、2
2014
C、2
2014
D、322014
17.(2016春宿州校级月考)下列运算中,因式分解正确的是( ) A、m2mnmm(mn1) B、9abc6a2b23bc(32ab) C、3a2x6bx3x3x(a22b) D、
12121
ababab(ab) 222
18.(2015春杭州期末)多项式(x2)(2x1)(x2)可以因式分解成(xm)(2xn),
则mn的值是( )
A、2 B、2 C、4 D、4
19.(2015春莲湖区校级月考)把多项式3m(xy)2(yx)分解因式的结果是( ) A、(xy)(3m2x2y) B、(xy)(3m2x2y) C、(xy)(3m2x2y) D、(yx)(3m2x2y) 二、填空题
432
1.(2016潍坊模拟)分解因式:ab6ab9ab= 。
2
2.(2017潍坊)因式分解:x22x(x2)= 。 3.(2017崇安区一模)分解因式(xy)23(xy)的结果是 。 4.(2016秋内江期末)因式分解:(xy)22y(xy)= 。 5.(2016滨海县二模)分解因式:m(xy)n(yx)= 。 6.(2017春醴陵市期末)因式分解:6(x3)x(3x)= 。 7.(2017春碑林区校级期中)分解因式2m(mn)28m2(nm)= 。 8.(2016陕西校级三模)分解因式:(3ab)(ab)abb= 。 9.(2017沂源县一模)因式分解(ab)(ab1)ab1的结果为 。 10.(2016春寿光市期末)计算:56520.1346520.13= 。 11.(2015秋孟津县期末)简便计算:1210.1312.10.91.2112= 。 12.(2017春宜兴市期中)把多项式16x40xy提出一个公因式8x后,另一个因式是 。
13.(2016安徽模拟)已知长和宽分别为a,b的长方形,其面积等于15,周长等于16,则
3
2
2
2
2a2b2ab2= 。
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14.(2016北京)如图中的四边形均为矩形,根据图形,写出一个正确的等式 。
16.(2015秋黄山期末)若a2,a2bc3,则2a24abc的值为 。
17.(2016秋望谟县期末)已知xy10,xy16,则x2yxy2的值为 。 18.(2017春临泽县校级期中)若mn3,mn2,则4m2n4mn21的值为 。 19.(2017秋越秀区期末)化简:a1a(a1)a(a1)2...a(a1)99= 。 三、解答题。
1.(2015春乐平市期末)若ab3,ab1。求
2. 用提公因式法将下列各式分解因式:
(1)(ab)(xy)(ba)(xy) (2)x(ax)(ay)y(xa)(ya)
131
aba2b2ab3的值。 22
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