幂函数的性质

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幂函数的性质

幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

取正值

当a>0时，幂函数y=xa有下列性质： a.图像都经过点（1,1）(0,0）；

b.函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；

c.在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

取负值

当a<0时，幂函数y=xa有下列性质： a.图像都通过点（1,1）；

b.图像在区间（0，+∞）上是减函数；

c.在第一象限内，有两条渐近线，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

取零

当a=0时，幂函数y=xa有下列性质：

=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。(00没有意义） 特性

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

a小于0时，x不等于0；


a的分母为偶数时，x不小于0； a的分母为奇数时，x取R。 定义域和值域

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

1.如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据a的奇偶性来确定，即如果同时a为偶数， 则y不能小于0，这时函数的值域为大于0的所有实数；2.如果同时a为奇数，则函数的定义域为所有非零实数。

2.当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1.在x大于0时，函数的值域为大于0或大于等于0的实数。 2. 在x小于0时，则只有同时a为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。

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