幂函数的性质

2023-11-19 20:12:37   文档大全网     [ 字体: ] [ 阅读: ]

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函数,性质
幂函数的性质

幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

取正值

a>0时,幂函数y=xa有下列性质: a.图像都经过点(1,1(0,0

b.函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;

c.在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0

取负值

a<0时,幂函数y=xa有下列性质: a.图像都通过点(1,1

b.图像在区间(0,+∞)上是减函数;

c.在第一象限内,有两条渐近线,自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0

取零

a=0时,幂函数y=xa有下列性质:

=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1。它的图像不是直线。(00没有意义) 特性

对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,且p/q为既约分数(即pq互质)qp都是整数,x^(p/q)=q次根号下xp次方)如果q是奇数,函数的定义域是R如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数a是负整数时,设a=-k,则y=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

a小于0时,x不等于0


a的分母为偶数时,x不小于0 a的分母为奇数时,xR 定义域和值域

a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:

1.如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据a的奇偶性来确定,即如果同时a为偶数, y不能小于0,这时函数的值域为大于0的所有实数;2.如果同时a为奇数,则函数的定义域为所有非零实数。

2.x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下: 1.x大于0时,函数的值域为大于0或大于等于0的实数。 2. x小于0时,则只有同时a为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。


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