极坐标系下两点距离公式的发现与应用之欧阳育创编

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欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04

极坐标系下两点距离公式的发明与

应用



时间：2021.02.04



创作：欧阳育

王立保

米脂中学数学教研组，陕西 米脂 718100

摘要：距离是几何学研究的主要内容之一。平面直角坐标系中的两点距离公式在解析几何中有着极其广泛的应用。在选修44中，教材内容没有提出极坐标系下的两点距离公式，笔者发明了它，并在课后习题以及高考试题中得以应用。 关键词：高考；极坐标；两点距离公式

在平面解析几何里，两点距离公式是最基本的公式，有着极其广泛的应用。特别是研究圆锥曲线的轨迹方程上表示尤为突出。

从开始，高考数学全国卷选做题22题，已由原来的三选一酿成了二选一。如此一来，选修44的分值明显增加，极坐标的相关知识占其中一半。在求极坐标下的曲线轨迹方程问题上，课本的例题中，往往是在曲线上构造直角三角形或一般三角形，利用直角三角形内的三角运算或正余弦定理构造等量关系来处理,难度比较年夜。

笔者在教学中，不经意发明了极坐标系下的两点距离公式。利用公式来处理相关问题就便利多了。

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欧阳育创编 2021.02.04 欧阳育创编 2021.02.04 一． 公式以及证明

若A,B两点的极坐标辨别为（1，1）（2，2）（无妨取

0,0,2）则AB

（1-2）=1222212COS

证明：(1)如图一，那时1=2，

AB1222212COS0=1222212

2

=（1-2）=12，这显

然是正确的。

(2)如图二，那时12，

AB

2

=1222212COS=1222+212=（1+2）=1+2=1+2

，这显然也是正确的。

(3)如图三，当不是1,2两种特殊情况时，点A、点B、极点O三点一定能构成一个三角形，由三角形的余弦定理可知，

ABOAOB2OAOBcosAOB，即

2

2

2

AB

（1-2）=1222212COS

特别说明：在(3)一中，cos∠AOB=cos（21）=cos(12);在(3)二中，cos∠AOB=cos[2（21）]=cos(12);

证完. 二.应用

例1.人教版选修44第15页习题1.3第2题：求适合下列条件的图形的极坐标方程。

（3）圆心在A(1，),半径为1的圆；

4

解：设圆上任意一点为P(,)，则由OP=1得：



2122cos()=1

4

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化简得：cos()

4

xtcos｛例2.（新课标全国II），在直角坐标系xOy中，曲线C：ytsin

1

（t为参数，t0）,其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3:23cos. (1)求C2与交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B，求的最年夜值. 解：(1)略

(2)C1化为极坐标方程为：=， 那时



0,，A,B2

两点在O点同侧,如图(1):此点A的极坐标为

(2sin,)，B(23cos,)

=4sin()，此时，当=0时，

3



所以AB=2sin2

ABmax=23.



3cos

那时



,，A,B2

两点在O点两侧，如图(2):此点A的极坐

3cos(3cos(

标为(2sin,)，B(2所以AB=2sin+2

6

+),+)

3cos

+)=2sin2

=4sin(),

3

此时当=5时，ABmax=4 综上：ABmax=4

时间：2021.02.04



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创作：欧阳育

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