由交点式求抛物线顶点和对称轴

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由交点式求抛物线顶点和

对称轴

二次函数解析式包括以下三种形式： 一般式 yax2bxc(a0)， 顶点式 ya(xh)2

k(a0), 交点式 ya(xx1)(xx2)(a0)． 由一般式求抛物线的顶点坐标、对称轴可由配方法将一般式化为顶点式或直接代入顶

点坐标公式(b4ac2a,b2

4a)，及对称轴：直

线xb

2a

求得．而由交点式求抛物线的顶点

坐标、对称轴，课本介绍的一般方法是利用多项式的乘法运算将其化为一般式，再根据以上两种方法求得顶点坐标和对称轴．本文介绍直接由交点式求顶点坐标、对称轴的方法．

1. 方法依据

由二次函数交点式

ya(xx1)(xx2)求顶点坐标，可先求出

一元二次方程a(xx1)(xx2)0的两个根

x1、x2，由根与系数的关系：x1x2

ba

，而二次函数yax2

bxc图象的对称轴是

x

b2a，故x1b

xx22（-a）=12

，此即为对称轴，也是顶点的横坐标，再将其代入二次函数式可求出顶点的纵坐标．

2．方法举例

例1 求二次函y(6005x)(100x) 图象的对称轴和顶点坐标．

解 令y0得(6005x)(100x)0 ∴x1120,x2100，故抛物线与x轴的交点为A（120，0），B(-100，0)，

x1

2

[120(100)]10，抛物线的对称轴

为：直线x10，把x10代入

y(6005x)(100x)

， y(600510)(10010)55011060,500．

所以抛物线的顶点坐标（10，60500）．

注 如果把y(6005x)(100x)化为一般式y5x2100x60,000，再根据配方法或公式求顶点坐标、对称轴则非常繁琐（此例是抛物线与x轴的交点分别在坐标原点的两侧）．

例2 求抛物y(x2.5)(3200200x) 的对称轴和顶点坐标．

解 抛物线与x轴的交点为（2.5，0），（16，0），中点横坐标x12

(2.516)9.25，将x9.25代入

y(9.252.5)(32002009.25)

6.7513509112.5

所以对称轴为直线x9.25，顶点坐标（9.25，

9112.5）．

（此例是抛物线

y(x2.5)(3200200x)与x轴的交点均在坐标原点的右侧；如果抛物线与x轴的交点均在坐标原点的左侧，其方法与上例一样）．

说明 以上两例均出自课本[1]（北师大版《数学》九年级（下）2.6何时获得最大利润）中求最大利润的应用题，其数字较大，运算量也大．

3. 小结

第1步 求抛物线ya(xx1)(xx2)与

x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)，（因为给出的是

二次函数的交点式，所以抛物线与x轴一定有

交点）；

第2步 求两交点的中点横坐标

x1

2

(x1x2)（符号参加运算，这是问题的关键）

； 第3步 把求得的x值代入

ya(xx1)(xx2)求y；




第4步 写出对称轴和顶点坐标． 注 如果给出的解析式数字较小，仍可先化为一般式，再求顶点坐标和对称轴．

练习 求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：

12

（2）y3(2x1)(2x)

（1）y2(x)(x2)

（3）y =(2900-x-2500)（8+（4）y= (x-2500)(240-答案

2x

） 25

2

x) [2] 25

595

， (,)．

484

3753

（2）对称轴 x， (,)．

484

（3）对称轴 x150， (150,5000)． （4）对称轴 x2750， (2750,5000)．

（1）对称轴 x



本文发表于《数理天地》（初中版）2012年第6期，第8页



作者简介 黄业乐，男，江西省大余县人，中学高级教师，2008年以来分别在《数学大世界》（初中版）《中学数学教学参考》、（中旬）、《中小学数学》、《数理天地》（初中版）、《中学生数学》（初中版）、《中学数学杂志》（初中版）、《初中数学教与学》、《新课堂》(数学版)、《云南教育》（中学教师）等杂志发表文章30多篇；10多篇教研论文获国家、省、市、区、街道奖励．主要从事初中数学纠错方法、解题方法、教学方法、以及对各类初中数学新教材的研究．

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