函数的单调性与导数

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《函数的单调性与导数》，欢迎阅读！

331函数的单调性与导数导学案

1. 感悟课程标准

(一) 知识目标要求：

1. 了解函数的单调性与导数的关系； 2. 能利用导数研究函数的单调性； 3. 会求含参函数的单调区间。

(二) 重点难点预见：

1. 学习重，难点：含参函数单调性的讨论；

2. 预习探究新知

(1) 课前自主学习：

1. 到目前为止，判断函数单调性且求出单调区间的方法有几种？它们的优 势分别是什么？

2. 函数图象变化的快慢与导数有关系吗？有什么样的关系？ (2) 诱思探究交流：

问题1:如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间 中间能用“ U ”连接吗？为什么？

问题2:函数的单调区间与函数的定义域有何关系？ (3) 新知简单应用： 1. 下列命题正确的是()

A.若f(x)在区间a,b内是增函数，则对如何x a,b都有f'(x) 0 ； B•若

在a,b内对任意x都有f'(x) 0是，贝U f (x)在a,b内是增函数； C.若在a,b内有f'(x)

0是，则在a,b内有f (x) 0 ；

D.单调函数的导函数仍为单调函数

2. 函数f (x) ax3 x在R上是减函数、，则()

3

3 •若f (x)在(a,b)内存在导数，则 f '(x) 0是f (x)在(a,b)内单调递减的 条件.

A. a OB. a 1C. a 2D. a -

1

3. 典型例题分析：

类型一：已知函数的单调性求参数的范围

例1.若函数f (x) x3 ax2 1在0,2内单调递减，求实数a的取值范围. 【审题指南】：解答本题可先对函数求导，在将问题转化为即 f'(x) 0在 x 0,2内恒成立问题解决.

【规范解答】：解：由函数f(x) x3 ax2

1在0,2内单调递减知f(x) 0


即f'(x) 3x2 2ax 0在0,2内恒成立.

当x 0时，由3x2 2ax 0在0,2内恒成立得a R.

3

当x 0时，由3x2 2ax 0在0,2内恒成立，即a -x恒成立.

3 3

2

故只需a (3x)max又3x在0,2上最大值为3,故a 3

2 2

综上可知，a的取值范围是3,.

【点石成金】：参数在函数解析式中，可转化为不等式恒成立问题 • 一般 地，函数f (x)在区间I上单调递增(递减)；等价于不等式f'(x) 0(f'(x) 0) 在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围 •

【拓展变式】

1.若函数f (x) ax3 x2 x 5在R上单调递增，求a的取值范围.

类型二：函数的单调性的应用一一…一---—……-■■■--…一-- 例 2.当 x 0,，证明 tanx x..

2

【审题指南】：证明h(x) g(x),x a,b令f(x) h(x) g(x),则证明

f(x) 0.

【规范解答】：证明：设f(x) tanx x,x (0,—)

2

f (x)在0,

上是增函数，又f (x) tanx x在x 0处有f (0) 0,

2

Q 当 x (0,)时，f(x) f (0)恒成立，即 tanx x 0. tanx x.

2

【点石成金】：解不等式或比较大小：

f (x)在 a,b 上单调递增，a x! X2 b f x! f(X2) f (x)在a,b上单调递减，a为 x2 b f

f (x2)

—【拓展变式】-------------------- 禾I」用函数的单调性证明：当x 1时，2

仮 3丄.

I

本文来源：https://www.wddqxz.cn/2bab648a8f9951e79b89680203d8ce2f01666585.html