初中数学竞赛辅导资料(50)

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初中数学竞赛辅导资料（50）

基本对称式

甲内容提要

1. 上一讲介紹了对称式和轮换式的定义和性质. 形如x+y和xy是两个变量x, y的基本对

称式.

2. 含两个变量的所有对称式，都可以用相同变量的基本对称式来表示.

例如x2+y2, x3+y3, (2x－5)(2y－5), －

23x23y

，

yxx

y……都是含两个变量的对称式，它们都可以用相同变量x,y的基本对称式来表示：

x2+y2＝（x+y）2－2xy， x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，

(2x－5)(2y－5)＝4xy－10(x+y)+25, －

22（2xy3x3y=－)3xy

, yxy2x2(xxy

=y)22xyxy=xy.

3. 设x+y=m, xy=n.

则x2+y2＝（x+y）2－2xy＝m2－2n；

x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)=m3－3mn； x4+y4＝（x2+y2）2－2x2y2＝m4－4m2n+2n2；

x5+y5＝（x2+y2）(x3+y3)－x2y2(x+y)=m5－5m3n+5mn2； ………

一般地，xn+yn

(n为正整数)用基本对称式表示可建立递推公式：

xk+1+yk+1=( xk+yk)(x+y)－xy(xk－1+yk－

1) (k 为正整数).

4. 含x, y的对称式，x+y, xy这三个代数式之间，任意知道两式，可求第三式. 乙例题

例1.

已知x=

12(3+1), y=1

2

（3－1） 求下列代数式的值： ①x3+x2y+xy2+y3 ； ②x2 (2y+3)+y2(2x+3).

解：∵含两个变量的对称式都可以用相同变量的基本对称式来表示. ∴先求出 x+y=3, xy=

12

. ① x3+x2y+xy2+y3 ＝（x+y）3－2xy(x+y)

=(3)3－2×12

3 =23；

② x2 (2y+3)+y2(2x+3)＝2x2y+3x2+2xy2+3y2

=3(x2+y2)+2xy(x+y) =3［（x+y）2－2xy］+2xy(x+y)

=3［（3）2

－212）2×1

2

3

＝3－6.

例2.

解方程组x3y335①

xy5②



分析：可由 x3+y3, x+y 求出xy，再由基本对称式，求两个变量x和y. 解：∵x3+y3,＝（x+y）3－3xy(x+y) ③

把①和②代入③，得 35＝53－15xy. ∴xy=6.

解方程组

xy5



xy6

得

x2x3

y3 或

y2. 例3. 化简

3

20142＋320142.

解：设320142＝x, 3

20142=y.

那么 x3+y3=40, xy=3400－1962=2. ∵x3+y3＝（x+y）3－3xy(x+y)，

∴ 40＝（x+y）3－6（x＋y）.

设x+y=u,

得 u3－6u－40=0 . (u－4)(u2+4u+10)=0.

∵u2+4u+10=0 没有实数根，

179


∴u－4＝0, u＝4 .

∴x+y=4.

即 3

20142＋320142＝4.

例4.

a取什么值时，方程x2－ax+a－2=0 的两根差的绝对值最小？其最小值是什么？

解：设方程两根为x1, x2 . 根据韦达定理，



得 

x1x2a

xa2



1x2∵x(x221x2

1x2)＝（x1x22)4x1x2＝a4a8

＝(a2)24，

∴当a=2时，x1x2 有最小值是2.

丙练习50

1. 已知 x－y=a, xy=b. 则x2+y2=______ ； x3－y3=______. 2. 若x+y=1, x2+y2=2. 则 x3+y3=_______； x5+y5=______. 3. 如果 x+y=－2k, xy=4,

xyy

x

3. 则 k=_____. 4. 已知x+1x=4, 那么x－1x=____ ， x2

1x2=＿＿＿. 5. 若x

1x

.＝a, 那么x+

1x=______, x2

1x

2=＿＿＿. 6. 已知：a=

112－3

, b=

23

.

求： ①7a2+11ab+7b2 ； ②a3+b3－a2－b2－3ab+1. 7. 已知x

1

x2x

＝8，则1

x＝＿＿＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）

8. 已知 a2+a－1=0 则a3－

1

a

3=＿＿＿＿＿.(1987年泉州市初二数学双基赛) 9. 已知一元二次方程的两个根的平方和等于5，两根积是2，则这个方程可写成为：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛） 10. 化简： ①32＋5＋32－5； ②352＋7－352－7. 11. 已知：α，β是方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根.

α2

（bβ+c）+β2

(bα+c)=－2c2

求证：a

.





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