【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《函数的对称性与周期性(归纳总结)》，欢迎阅读！
函数的对称性与周期性
3.1函数的单调性
知识回顾
1． 一般地，设函数的定义域为
区间
，
⑴ 增函数：如果对于量的值上的任意两个自变
，当
：
时，都有
，那么就称函数
在区间
⑵ 减函数：如果对于量的值上是增函数；
上的任意两个自变
，当
时，都有
，那么就称函数
在区间
2．单调性：如果函数上是减函数；
在某个区间
上是增函数或减函数，那么就说
函数区间在这个区间上具有单调性，
叫做
的单调区间．
3．判断函数单调性的基本方法：
⑴ 定义法：任取的正负；判，
断
，
⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； ⑶ 复合函数的单调性——同增异减．
3.2函数的奇偶性（一）
知识点睛
函数图象的对称性
轴对称
函数示意图
奇偶性 偶函数
满足的关系式
本质
当取的自变量互为相反数时，
函数值相等
3.3函数的对称性
知识点睛
一般的轴对称：
⑴ 函数的图象对于直线
称
关
；
⑵ 若数的图，象关满于直足
则
线
函
练习1】（1）若函数成轴对称．满足：
则
【，
2）若函数的图象的对称轴为________；，满足：
则
（
3）若函数的图象的对称轴为________；
满足：
，则
（
⑴的图象的对称轴为________．；；⑵
⑶
【解析】
一般的中心对称：⑴ 函数
的象关于点
．
图
对称
⑵ 若数满足
．
函
的图成中心对称．
，象关则
于点
练习2】（1）若函数，的图象的对称中心为________；满足：
则
【
2）若函数满足：
，则
的图象的对称中心为________；
（
3）若函数满足：
，则
的图象的对称中心为________．
（
⑴
；
⑵
⑶
【解析】；．
3.4函数的周期性
知识点睛
1．对于函数，如果存在一个非零常数
使得当
，
取定义域内的每一个值时，都有
，那么函数
就叫做周期函数．非零常数
2．如果周期函数小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期． 3．代数形式
叫做这个函数的一个周期．
的所有周期中存在一个最
⑴ 全T：若函数则满足：
函数
，
，
⑵ 半T：若函数是的函数；周期满足：
为
，
则函数是周期为
，
⑶ 其他：若函数的函数．满足：
则函数
，
【练习3】如果函数出它的周期：
是的函数．
周期为
满足下面的关系式，写
⑴；⑵
⑶
；；
⑶ ⑴；⑷
⑵
．
【解析】；
⑶
⑶
⑷
；；；
3.5如何识别对称性和周期性
注意区别如下四个关系式反映的函数性质：①．
：
②有
对称轴
：
；
③有
对称心
：
中；
④有
周期
：
；
3.6双对称
知识点睛
1．双对称性函数具有周期性．有
周期
．
⑴ 若函数，对称的图象关于点
及点
则函数
，
证明：
是
．周期为
的函数．
⑵ 若函数对称图象关于直线
及
则函数
的，
证明：
是．周期为
的周期函数．
⑶ 若函数图象关于直线
对称，且关于点
对称，则函数
证明：
2．正弦、余弦函数的对称性及其结论
是的周期函数．．
周期为
【结论】
（1）对称中心到离他最近的一条对称轴的距离为四分之一各周期； （2）相邻两条对称轴之间的距离为半个周期； （3）相邻两对称中心之间的距离为半个周期。
1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，当x∈[0，1]时
，
f（x）＝
2x
，则
A．
）（
B．
C．
D．1
解：∵f（x+2）＝f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数， ∴
）＝f
（
f
当
x∈[01]时），f（x）＝
2x
，∴（
∵
，，f
）
（
，
故选：B．
2．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）
2
，当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）＝（ ）
B．338 C．1678
D．2012
A．335
解：∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）是以6为周期的函数， 又当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，
∴f（1）+f（2）＝1+2＝3，f（﹣1）＝﹣1＝f（5），f（0）＝0＝f（6）； 当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2， ∴f（3）＝f（﹣3）＝﹣（﹣3+2）2＝﹣1，
f（4）＝f（﹣2）＝﹣（﹣2+2）2＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1+2﹣1+0+（﹣1）+0＝1， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）
＝[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）＝335×1+f（1）+f（2） ＝338． 故选：B．
3．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[0，1]时，f（x）＝x，则方程f（x）＝log3|x|的解有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．多于4个
解：由f（x+2）＝f（x）可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，
故可作出函数f（x）得图象．
∴方程f（x）＝log3|x|的解个数等价于f（x）与y＝log3|x|图象的交点，由图象可得它们有4个交点，故方程f（x）＝log3|x|的解个数为4， 故选：C．
4．已知函数f（x）是R上的奇函数，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x+2）＝﹣f（x），且x∈（0，1]时，f（x）＝2x+1，则f（﹣2012）+f（2013）的值为（ ） A．1 B．2
C．3
D．4
解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f（x），即函数的周期是4，∴f（﹣2012）＝f（0），
f（2013）＝f（1），
∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝2x+1，∴f（1）＝2+1＝3，
∴f（﹣2012）+f（2013）＝f（0）+f（1）＝3． 故选：C． 5．设偶函数
f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）
则f（107.5）＝（A．10
）x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝4x，
，且当
B．
D．
C．﹣10
解
：
为
，故x+3有f（）
x+6）
因
f（
107.5
）
＝
f6×f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f
）＝f（5.5）
（
（17+5.5
．
故选：B．
6．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ） A．﹣50 B．0
C．2
D．50
解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），
f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2， 故选：C．
7．（2017•全国）函数f（x）的定义域（﹣∞，+∞），若g（x）＝f（x+1）和h（x）＝f（x﹣1）都是偶函数，则（ ） A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（2）＝f（4） D．f（3）＝f（5）
解：∵g（x）＝f（x+1）和h（x）＝f（x﹣1）都是偶函数，∴g（﹣x）＝﹣g（x），h（﹣x）＝h（x），
得f（﹣x+1）＝f（x+1），f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x+2）＝f（x），f（﹣x﹣2）＝f（x），
则f（﹣x+2）＝f（﹣x﹣2），则f（x+2）＝f（x﹣2），则f（x+4）＝f（x）， 则函数f（x）是周期为4的周期函数，
又当x＝0时，f（0）＝f（2），f（﹣2）＝f（0），f（0）＝f（4），∴f（2）＝f（4）， 故选：C．
8．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），若函数y＝|x2﹣2x﹣3|与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则
xi＝（ ）
A．0 B．m
C．2m D．4m
解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）＝f（2﹣x），故函数f（x）的图象关于直线x＝1
对称，
函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x＝1对称，
故函数y＝|x2﹣2x﹣3|与 y＝f（x） 图象的交点也关于直线x＝1对称，故
xi
2＝m，
故选：B．
9．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数
y
y2
）…（
与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，
xm
，
ym
），则
，，
（xi+yi）＝（ ）
A．0 B．m
C．2m D．4m
解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），即为f（x）+f（﹣x）＝2，可
得
f（x）关于点（0，1）对称，函数
y
1
即y＝
，
的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点， （x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点， … 则
有
（xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）
[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+
（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）] ＝m． 故选：B．
10．（2016•全国）定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝x+1，则f（25）＝ 0 ．
解：∵定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x∈[﹣4，0]时，f（x）＝x+1，
∴f（25）＝f（8×3+1）＝f（1）＝f（﹣1）＝﹣1+1＝0． 故答案为：0．
11．（2014•新课标Ⅱ）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（﹣1）＝ 3 ．
解：法1：因为偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（2+x）＝f（2﹣x）＝f（x﹣2），
即f（x+4）＝f（x），则f（﹣1）＝f（﹣1+4）＝f（3）＝3，
法2：因为函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（1）＝f（3）＝3， 因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）＝f（1）＝3， 故答案为：3．
12．已知定义在R上的奇函数f（x），若函数f（x+1）为偶函数，且f（1）＝1，则
f（i）＝ 1 ．
解：因为函数f（x+1）为偶函数，所以f（x+1）的对称轴为x＝0， 所以f（x）的对称轴为x＝1，所以f（x+1）＝f（1﹣x），
又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）＝f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1）， 所以f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）的周期为4， 且f（1）＝1，f（2）＝f（﹣2）＝﹣f（2），
所以f（2）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣1，f（4）＝f（0）＝0，
f（i）＝504×[f（1）+f（2）+f（3）+f
（4）]+f（1）+f（2）＝1， 故答案为：1．
13．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x，都有f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]
时
，
f（x）＝
x
，则 ．
（21）＝f
解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数的图象关于y轴对称， 又由对任意的x，都有f（x）＝f（2﹣x），故函数的图象关于x＝1对称， 故函数f（x）是以2为周期的周期函数， 故
f（21）＝f（1），又∵当x∈[0，1]时，f（x）＝
x
∴
f，
1）
（
∴（21）
，f
故
答
，案
为
：
14．已解
知函f（t）＝7，则f（﹣t）＝ ﹣1 ．数
：
，
；
∴
；
∴
故答案为：﹣1．．（
2018
（
新
课
标
Ⅲ
）
．
知
函
数
f（x）＝ln
15
•
已
解
：
（
数
x）+1，f（a）＝4，则f（﹣a）＝ ﹣2 ．
g（x）＝ln
函
满
足
（
g（x）
x）＝ln
﹣
x）
ln
（
所以g（x）是奇函数．函
数
f（x）＝﹣g（x），x）ln
＝
（
可
得
（x）+1，f（a）＝4，
）＝4ln
fa＝
）+1可得ln
（
a，（
则
f（
﹣a）＝3，）﹣ln
（a＝
故答案为：﹣2．．
函
数
（
（x的图a）+1＝﹣3+1＝﹣2．象与函数gx）
16
f）（＝
﹣x2）的单调减区间为 （0，1） ．解
：
由
y（
）x的图象关于直线y＝x对称，则f（2x
g（x）＝
＝
x
）
∴函x
数g，得
x）＝
，（
）
x
的反函数为
（
，
该函数为定义域内的减函数，由2x﹣x2＞0，得0＜x＜2， 函数y＝2x﹣x2在（0，1）内为增函数，
由复合函数的单调性可得，f（2x﹣x2）的单调减区间为（0，1）． 故答案为：（0，1）．
1．奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）＝1，则f（8）+f（9）＝（ ） A．﹣2
B．﹣1 C．0
D．1
解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）＝f（x+2），则g（﹣x）＝g（x），
即f（﹣x+2）＝f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x+2）＝f（x+2）＝﹣f（x﹣2）， 即f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝f（x+4+4）＝﹣f（x+4）＝f（x）， 则f（8）＝f（0）＝0，f（9）＝f（1）＝1， ∴f（8）+f（9）＝0+1＝1， 故选：D．
2．函数f（x）＝x2﹣2x+1满足f（m+x）＝f（m﹣x），则m＝（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣1 D．1
解：函数f（x）＝x2﹣2x+1图象的对称轴为：x＝1， 函数满足f（m+x）＝f（m﹣x），对称轴为x＝m，则m＝1． 故选：D．
3．已知函数f（x）满足f（0）＝2，且对任意x∈R都满足f（x+3）＝﹣f（x），则f（2019）的值为（ ） A．2019 B．2
C．0
D．﹣2
解：∵f（x+3）＝﹣f（x），∴f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），∴f（x）的周期为6， ∴f（2019）＝f（3），又f（3）＝﹣f（0）＝﹣2，∴f（2019）＝﹣2． 故选：D．
4．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣2）＝﹣f（x）且在区间[0，1]上是减函数，则f（x）具有如下性质（ ）
A．函数f（x）的图象关于直线x＝2对称 B．f（﹣7）＜f（6）＜f（11） C．函数f（x）的最小正周期是2 D．函数f（x）的单调增区间是[1，2]
解：根据题意，若f（x）满足f（x﹣2）＝﹣f（x），则f（x﹣4）＝﹣f（x﹣2）＝f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数，
又由函数f（x）为R上的奇函数，则f（x﹣2）＝f（﹣x）＝f（x+2）， 则函数f（x）的一条对称轴为x＝1，据此分析选项：
对于A，奇函数f（x）在区间[0，1]上是减函数，则其在[﹣1，1]是减函数， 又由函数f（x）的一条对称轴为x＝1，
则f（x）在[1，3]是增函数，则函数f（x）的图象不会关于直线x＝2对称，A错误；
对于B，函数是周期为4的周期函数且是定义在R上的奇函数，
则f（﹣7）＝f（1），f（6）＝f（﹣2）＝f（0）＝0，f（11）＝f（﹣1）， 且函数f（x）在[﹣1，1]上为减函数，则有f（﹣7）＜f（6）＜f（11）；B正确， 对于C，函数是周期为4的周期函数且[﹣1，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数， 则函数f（x）的最小正周期为4，C错误；
对于D，f（x）在[﹣1，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数，则D错误； 故选：B．
5．已知函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），若函数
y
与f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，
y2），…，（xm，ym）（m∈N*），则x1+x2+x3+…+xm的值为（ ）
A．4m B．2m C．m D．0
解：函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），即为f（x）+f（2﹣x）＝0， 可得f（x）关于点（1，0）对称， 函
y
的图象关于点（1，0）对称，
即有（x1，y1）为交点，即有（2﹣x1，﹣y1）也为交点， （x2，y2）为交点，即有（2﹣x2，﹣y2）也为交点， … 则
有
x1+x2+x3+
数
…
+xm
[x1+（2﹣x1）+x2++（2﹣x2）+…+xm+
（2﹣xm）]＝m． 故选：C．
6．已知定义在R内的奇函数f（x）满足：对任意x∈R郡有f（x+1）＝f（3﹣x），若f（1）＝﹣2，则2016f（2016）﹣2015f（2015）＝（ ） A．﹣2015
B．2015 C．﹣4030 D．4030
解：定义在R内的奇函数f（x）满足：对任意x∈R郡有f（x+1）＝f（3﹣x）， 则f（x+1）＝f（3﹣x）＝﹣f（x﹣3），则f（x+4）＝﹣f（x），即f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），
即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2016）＝f（252×8）＝f（0）＝0，
f（2015）＝f（252×8﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，
故2016f（2016）﹣2015f（2015）＝0﹣2015×2＝﹣4030， 故选：C．
7．设函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log2x，则
2 ．
解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有
f（x+2）＝f（x），f（﹣x）＝f（x）则
﹣，
，
同时函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1），
又有函数为周期为2的周期函数，则f（1）＝f（﹣1），则有f（1）＝f（﹣1）＝0，故
2；
故答案为：2．
8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝ 6 ．
解：由f（x+4）＝f（x﹣2）．则f（x+6）＝f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，f（919）＝f（153×6+1）＝f（1）， 由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）＝f（﹣1）， 当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，
f（﹣1）＝6﹣（﹣1）＝6，
∴f（919）＝6，
本文来源：https://www.wddqxz.cn/26684f587cd5360cba1aa8114431b90d6c8589a2.html
2022-07-10
