拓扑学简介(一)

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拓扑学简介〔一〕

拓扑学是现代数学的一个重要分支 ,同时是渗透到整个现代数学的思想方法。“拓扑〞一词是音译自德文topologie ,最初由高斯的学生李斯亭引入〔1848年〕 ,用来表示一个新的研究方向 ,“位置的几何〞。中国第一个拓扑学家是江泽涵 ,他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯 ,学成后为中国带来了这个新学科〔1931年〕。

拓扑学经常被描述成“橡皮泥的几何〞 ,就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比方 ,所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的 ,因为多边形可以通过连续变形变成圆周 ,右边这个图上 ,一个茶杯可以连续地变为一个实心环 ,在拓扑学家眼里 ,它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样 ,因为把圆周变成线段总会断裂〔不连续〕。为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多 ,用不着“言必称希腊〞 ,只要从莱布尼兹开始就行。 莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一 ,对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统 ,比方微商符号dy/dx ,不久就把牛顿的符号系统比下去了。在1679年的时候 ,莱布尼兹突发奇想 ,尝试用抽象符号代表物体的几何性质 ,用以将几何性质代数化 ,通过符号的代数运算 ,由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标系方法 ,认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的 ,从而不能直接在坐标系中予以表达。可能是由于这个想法太超前了 ,在他自己的脑子里也还只是混沌一片 ,而当年听到他这个想法的很多人 ,比方惠更斯 ,干脆就不予理睬。

莱布尼兹在三百多年前想要建立的 ,是现在称为“代数拓扑〞的学问 ,中

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间经过欧拉 ,柯西 ,高斯 ,李斯亭 ,莫比乌斯 ,克莱因 ,特别是黎曼和贝迪的思考和尝试 ,终于在19 ,20世纪之交 ,由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中 ,高斯名气最大 ,被称为数学王子；大家可能不太熟悉黎曼 ,其实他同高斯在数学史上的地位是相当的 ,他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响；莫比乌斯 ,他在数学上有很多奉献 ,不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带 ,它的重要特性是 ,虽然在每个局部都可以说正面反面 ,但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做“单侧曲面〞。在这样的曲面上散步一定很别扭 ,哈哈。(

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