2010 数学奥林匹克解答

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1、如图，两圆Γ1 ,Γ2 相交于A,B 两点，过点B的一条直线分别交圆Γ1 , Γ2 于点C, D ，过点B 的另一条直线分别交圆Γ1 , Γ2 于点E,F，直线 CF 分别交圆Γ1 , Γ2 于点 P, Q ．设M,N 分别是弧PB ，弧QB 的中点．求证：若CD EF ，则C, F , M , N 四点共圆．（熊斌提供） 证明：连接 AC, AD, AE, AF , DF ，则由∠ADB AFB，ACB AEF 及题设CD  EF 知

ACDAEF ，所以 AD AF，∠ADC AFE ，故 ∠ADF AFD ．从而ABC AFD ADFABF 即 AB 是 ∠ CBF 的角平分线． 连接CM , FN ，由于 M 是弧 PB 的中点，所以CM 是∠DCF 的角平分线． 同样 FN 是 ∠ CFB 的角平分线，于是 BA, CM , FN 三线共点．设它们的交点为 I ，在圆 Γ1和 Γ 2 中，由圆幂定理得 CI· IM  AI·IB ， AI· IB  NI· IF ，所以 NI·IF  CI· IM ．从而C, F , M , N 四点共圆． 2、设整数 k3 ，数列{an } 满足 ak  2k ，且对所有 n  k ，有 证明：数列{an —an

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